Pāriet uz saturu

Uzlabotas elementu formulācijas

Standarta uz pārvietojumiem balstītā formulācija, kas izklāstīta sadaļā 3D cieto elementu formulācija, gandrīz nesaspiežamiem materiāliem vai lieces dominētām plānsienu konstrukcijām rada pārmērīgu mākslīgo stingumu, ko sauc par bloķēšanos (tilpuma bloķēšanos vai bīdes bloķēšanos). Lai no tā izvairītos, FrontISTR nodrošina B-bar un F-bar metodes, kas aizstāj tikai B matricas vai deformācijas gradienta tilpuma daļu; nesaderīgus elementus ar iekšējām brīvības pakāpēm; u-p jauktos elementus, kuros spiediens tiek aplūkots kā neatkarīgs nezināmais lauks; kā arī MITC čaulas un sijas elementus, kas specializēti plātņu un siju konstrukcijām.

Šajā nodaļā ir apkopotas šo uzlaboto elementu un konstrukciju elementu formulācijas pa elementu tipiem.

B-bar metode

Ja gandrīz nesaspiežamam materiālam izmanto 8 mezglu lineāru heksaedrisku elementu, deformāciju lauks viena elementa iekšienē var nonākt pretrunā ar nemainīga tilpuma ierobežojumu, radot pārmērīgu stingumu, ko sauc par tilpuma bloķēšanos. B-bar metode mazina šo pārmērīgo ierobežojumu, aizstājot B matricas komponentes, kas veicina tilpuma izplešanos, ar elementa centrā novērtētām vērtībām [Hughes1980].

Elementa centrā \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) B matricu, kas aprēķināta no formas funkciju telpiskajiem atvasinājumiem, apzīmēsim ar \(\bar{\boldsymbol{B}}\); integrācijas punktā \(\boldsymbol{r}\) parasto B matricu apzīmēsim ar \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Mezgla \(\alpha\) un brīvības pakāpes \(i\) pārvietojuma–deformācijas sakarībā tilpuma deformācijas komponentes \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) tiek modificētas, pievienojot

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Bīdes komponentēm \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) izmanto parasto \(\boldsymbol{B}\). Elementa stingumu un iekšējo spēku vektoru montē, izmantojot iegūto B-bar matricu.

FrontISTR šo formulāciju nodrošina tieši 8 mezglu lineārajam heksaedriskajam elementam (elementa ID 361; skatiet Elementu numerācijas sistēma), un to var izmantot mazo deformāciju formulējumā, pilnajā Lagranža formulējumā un atjauninātajā Lagranža formulējumā.

F-bar metode

Galīgu deformāciju gadījumā tilpuma izmaiņas nelineāri ietilpst deformācijas gradientā \(\boldsymbol{F}\). F-bar metode [deSouzaNeto1996] deformācijas gradienta līmenī piemēro B-bar metodei analogu tilpuma bloķēšanās novēršanas paņēmienu.

Deformācijas gradienta tilpuma attiecību, kas novērtēta elementa centrā \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), apzīmēsim ar \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), bet tilpuma attiecību integrācijas punktā — ar \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Deformācijas gradientu integrācijas punktā aizstāj ar

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Tādējādi \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), un tilpuma attiecība visā elementā tiek pielīdzināta vērtībai elementa centrā. Aizstāto \(\bar{\boldsymbol{F}}\) izmanto sprieguma novērtēšanai un deformācijas–pārvietojuma matricas izveidei, bet elementa pieskares stingums ietver papildu locekļus, kas saistīti ar šo aizstāšanu.

FrontISTR F-bar metodi realizē tieši 8 mezglu lineārajam heksaedriskajam elementam, un to var izmantot mazo deformāciju formulācijā, kā arī nelineārajā ģeometrijā ar pilno Lagranža formulējumu / atjaunināto Lagranža formulējumu.

Nesaderīgi elementi

8 mezglu lineārajam heksaedriskajam elementam trūkst liecei nepieciešamo deformācijas modu, tādēļ lieces dominētos uzdevumos rodas lieces bloķēšanās. Nesaderīgie elementi [Taylor1976] ievieš papildu pārvietojuma modus elementa iekšienē, lai kompensētu šo trūkumu.

Papildus elementa mezglu pārvietojumiem \(\boldsymbol{u}^e\) tiek ieviestas nesaderīgā moda brīvības pakāpes \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), kas pastāv tikai elementa iekšienē, — 3 virzieni × 3 modi katram elementam —, un pārvietojuma lauku aproksimē kā

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Dabiskajām koordinātām \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) nesaderīgās formas funkcijas pieņem kā \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) un \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Tās negarantē nepārtrauktību pāri elementu robežām, taču pievieno iekšēju telpu, kas spēj reproducēt ar lieces modiem saistītās deformācijas.

Elementa stingumu vispirms montē ārējo brīvības pakāpju/iekšējo brīvības pakāpju bloku formā

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Pēc montāžas šādā formā statiskā kondensācija novērš iekšējās brīvības pakāpes, izmantojot \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), iegūstot elementa stingumu, kas ietver tikai ārējās brīvības pakāpes

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

kas tiek nodots globālajai montāžai.

FrontISTR nesaderīgo elementu realizē tieši 8 mezglu lineārajam heksaedriskajam elementam (C3D8IC), un to var izmantot mazo deformāciju formulējumā, pilnajā Lagranža formulējumā un atjauninātajā Lagranža formulējumā.

U-P jauktie elementi

Kamēr B-bar un F-bar metodes koriģē tilpuma komponenti uz pārvietojumiem balstītā ietvarā, u-p jauktais (U-P) elements izmanto jauktu formulāciju [Bathe1996], kas ievieš spiedienu \(\lambda\) kā nezināmu lauku neatkarīgi no pārvietojuma. Gandrīz nesaspiežamiem materiāliem, piemēram, gumijveida materiāliem ar Puasona koeficientu ļoti tuvu 0,5 vai metāliem pēc plastiskās deformācijas, nemainīga tilpuma ierobežojuma uzspiešana tikai ar pārvietojuma lauku izraisa tilpuma bloķēšanos; spiediena aplūkošana kā neatkarīga mainīgā šo ierobežojumu atslābina.

Spriegums tiek sadalīts deviatoriskajā un spiediena komponentē kā

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Šeit \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ir deviatoriskā elastības matrica, ko iegūst, no elastības matricas atņemot tilpuma daļu, kas proporcionāla tilpuma modulim \(K\). Spiedienu \(\lambda\) un tilpuma deformāciju \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) saista ierobežojums caur saspiežamību \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizācija ar pārvietojumu \(\boldsymbol{u}\) un spiedienu \(\lambda\) kā nezināmajiem dod elementa saistīto sistēmu

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

kur \(\mathbf{K}_{uu}\) ietver deviatorisko elastības ieguldījumu un galīgu deformāciju gadījumā arī ģeometrisko stingumu; \(\mathbf{K}_{up}\) saista tilpuma deformāciju un spiedienu; bet \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ir spiediena stabilizācijas loceklis (\(\boldsymbol{N}_p\) ir spiediena formas funkcija). Tā kā spiediena brīvības pakāpes ir elementa iekšējas,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

šajā formā veic statisko kondensāciju, un efektīvais stingums, kas ietver tikai ārējās (pārvietojuma) brīvības pakāpes, tiek nodots globālajai montāžai.

FrontISTR U-P elementu realizē tieši 8 mezglu lineārajam heksaedriskajam elementam ar vienu spiediena brīvības pakāpi katram elementam (konstanta elementa iekšienē). To var izmantot mazo deformāciju formulējumā, pilnajā Lagranža formulējumā un atjauninātajā Lagranža formulējumā. Atjauninātā Lagranža formulējuma gadījumā deviatorisko spriegumu atjaunina, izmantojot objektīvu sprieguma ātrumu (Jaumana/Hjūza–Vingeta tips), un pēc tam uzspiež spiedienu \(\lambda\,\boldsymbol{I}\), izmantojot ar statisko kondensāciju iegūto vērtību.

Čaulas elementi

Plānsienu plātņu un čaulu konstrukcijām izmanto čaulas elementus, kas balstīti uz Reissnera–Mindlina plātņu/čaulu teoriju. Samazinoties biezumam, zemākas kārtas uz pārvietojumiem balstīti plātņu/čaulu elementi pārvērtē šķērsvirziena bīdes deformāciju ar mehānismu, kas analogs tilpuma bloķēšanai (bīdes bloķēšanās), izraisot pārmērīgu lieces modu stinguma palielināšanos. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) metode [Dvorkin1984] [Bathe1986] novērš šo problēmu, atkārtoti paraugot tikai bīdes deformācijas komponentes iepriekš noteiktos saistes punktos elementā un interpolējot šīs paraugu vērtības atpakaļ pa visu elementu.

MITC čaulas elementa mezgli atrodas uz vidusvirsmas, un katram mezglam ir sešas brīvības pakāpes: trīs translācijas komponentes un trīs rotācijas komponentes ap vidusvirsmas normāles koordinātu sistēmu. Elementa stingumu novērtē ar trīsdimensiju Gausa integrēšanu pa vidusvirsmas dabiskajām koordinātām un biezuma virzienu, un biezums \(h\) konstitutīvajā novērtēšanā tiek padots kā elementa īpašība.

FrontISTR nodrošina MITC3 (elementa ID 731), MITC4 (741) un MITC9 (743), ko attēlo viens vidusvirsmas slānis, kā arī slāņotus čaulas elementus MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 mezgli, 3 brīvības pakāpes katram mezglam) un MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 mezgli, 3 brīvības pakāpes katram mezglam), kuru mezgli caur biezumu ir izvietoti divos slāņos. Slāņotajos čaulas elementos mezglu brīvības pakāpes sastāv tikai no trim translācijas komponentēm, savukārt rotācijas brīvības pakāpēm atbilstošos lieces modus attēlo divu slāņu izkārtojums.

Siju elementi

Lineārus elementus, piemēram, sijas un rāmju konstrukcijas, diskretizē ar siju elementiem. FrontISTR izmanto Timošenko sijas formulāciju, kas ņem vērā bīdes deformāciju un izsaka gan lieci, gan bīdi kā translācijas un rotācijas brīvības pakāpju funkcijas.

Katram sijas mezglam ir sešas brīvības pakāpes: trīs translācijas komponentes un trīs rotācijas komponentes ap sijas asi un šķērsasīm. Elementa stingumu novērtē ar viendimensijas skaitlisko integrēšanu gar sijas asi. Šķērsgriezuma laukums \(A\) un laukuma otrie momenti \(I\) lieces un vērpes virzienos tiek padoti kā sijas šķēluma īpašības, un kopā ar materiāla Junga moduli \(E\) un bīdes moduli \(G\) tie nosaka aksiālo, lieces, vērpes un bīdes stingumu.

FrontISTR nodrošina 2 mezglu taisnu sijas elementu (elementa ID 611) un 4 mezglu tetraedriska cietķermeņa–sijas hibrīdelementu, kas attēlots ar 3 mezgliem (641, jauktām brīvības pakāpēm).

Saistītās tēmas