Pāriet uz saturu

Virtuālā darba princips

Pamatojoties uz līdzsvara vienādojumu un robežnosacījumiem, kas iegūti sadaļā Spriegums un saglabāšanās likumi, tiek atvasināts virtuālā darba princips, kas ir kontinuuma mehānikas robežvērtību uzdevuma vājā forma. Galīgo elementu diskretizācija sākas no šīs vājās formas. Šajā nodaļā sniegta gan pašreizējās konfigurācijas forma (izteikta ar Košī spriegumu un Almansi deformācijas lineāro daļu), gan atskaites konfigurācijas forma (izteikta ar otro Piolas–Kirhofa spriegumu un Grīna–Lagranža deformāciju), parādīta to ekvivalence un pēc tam apstiprināta pāreja uz mazu deformāciju gadījumu.

Līdzsvara vienādojums un robežnosacījumi

Lai \(\boldsymbol{g}\) būtu uz kontinuumu iedarbojošais tilpuma spēks uz masas vienību, un aplūkosim ķermeni, kas pašreizējā konfigurācijā aizņem apgabalu \(\Omega\). Robeža \(\Gamma\) ir sadalīta ģeometriskajā robežā \(\bar{\boldsymbol{u}}\), kur pārvietojums ir noteikts kā \(\Gamma_B\), un mehāniskajā robežā \(\bar{\boldsymbol{t}}\), kur virsmas spēks ir noteikts kā \(\Gamma_t\), turklāt \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) un \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Statiskam uzdevumam līdzsvara vienādojumu iegūst, izlaižot inerces locekli no impulsa saglabāšanās likuma, kas parādīts sadaļā Spriegums un saglabāšanās likumi:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{iekš} \ \Omega \]

Robežnosacījumi ir

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{uz} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{uz} \ \Gamma_B \]

Turpmāk virtuālā darba princips tiek atvasināts kā līdzsvara vienādojuma un mehāniskā robežnosacījuma \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) vājā forma. Ģeometriskais robežnosacījums \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) tiek iekļauts, izvēloties testa funkciju.

Vājā forma pašreizējā konfigurācijā

Vājajā formā pieļaujamo telpu nezināmajam pārvietojumam un testa funkciju telpu attiecīgi definē kā

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{uz} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{uz} \ \Gamma_B \} \]

Šeit \(d\) ir telpas dimensija, \(H^1(\Omega)\) ir Soboleva telpa funkcijām, kuras kopā ar to pirmajiem vājajiem atvasinājumiem ir kvadrātiski integrējamas, un \(\delta\) apzīmē variāciju. Pašreizējās konfigurācijas attēlojumā \(\Omega\) ir deformētā konfigurācija; faktiskā skaitliskā risinājumā to pārnes atpakaļ uz atskaites konfigurāciju vai zināmu starpkonfigurāciju.

Reizinot līdzsvara vienādojumu ar svara funkciju \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) un piemērojot Gausa diverģences teorēmu un mehānisko robežnosacījumu, iegūst šādu virtuālā darba principu pašreizējā konfigurācijā.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Šeit \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ir Almansi deformāciju tenzora lineārā daļa, kas definēta kā

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Tās variācija ir \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Tādējādi tiek meklēts \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\), kam virtuālā darba vienādojums izpildās katram \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Kreisā puse ir iekšējo spēku virtuālais darbs, bet labā puse ir noteiktā virsmas spēka un tilpuma spēka radīto ārējo spēku virtuālais darbs.

Tā kā šis vienādojums ir uzrakstīts deformētajā (pašreizējās konfigurācijas) apgabalā, faktiskā risināšanas procedūra atkārtoti izvēlas sākotnējo konfigurāciju \(\Omega_0\) (atskaites konfigurāciju) vai zināmu starpkonfigurāciju par atskaites konfigurāciju, pārraksta vienādojumu inkrementālā formā un pēc tam to atrisina. Konkrēto atskaites konfigurācijas izvēli (pilnais Lagranža formulējums / atjauninātais Lagranža formulējums) un inkrementālo sadalījumu skatiet sadaļā Inkrementālās analīzes shēma.

Vājā forma sākotnējā konfigurācijā

Aplūkosim ķermeni, kas atskaites konfigurācijā aizņem apgabalu \(\Omega_0\), kura robeža \(\Gamma_0\) ir sadalīta \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Pārnesot pašreizējās konfigurācijas attēlojumu uz atskaites konfigurāciju, iegūst konjugēto sprieguma–deformācijas pāri: otro Piolas–Kirhofa spriegumu \(\boldsymbol{S}\) un Grīna–Lagranža deformāciju \(\boldsymbol{E}\). Virtuālā darba princips sākotnējā konfigurācijā tad ir

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Šeit \(\rho_0\) ir masas blīvums atskaites konfigurācijā, un, izmantojot masas saglabāšanās sakarību \(\rho_0 = J\rho\), šis izteikums ir ekvivalents tilpuma spēka attēlojumam pašreizējā konfigurācijā.

Pašreizējās un sākotnējās konfigurācijas attēlojumu ekvivalence

Iekšējo spēku virtuālais darbs abos attēlojumos sakrīt, izmantojot transformāciju ar deformācijas gradientu \(\boldsymbol{F}\) un tilpuma attiecību \(J = \det \boldsymbol{F}\); proti,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Arī ārējo spēku locekļi ir ekvivalenti masas saglabāšanās un virsmas spēka transformācijas dēļ. Tādējādi virtuālā darba vienādojums pašreizējā konfigurācijā un sākotnējā konfigurācijā izsaka vienu un to pašu principu dažādās konfigurācijās. Risināšanas metode, kas atsaucas uz atskaites konfigurāciju, atbilst pilnajam Lagranža formulējumam, savukārt metode, kas atsaucas uz pašreizējo konfigurāciju (tūlīt iepriekšējo konverģējušo konfigurāciju), atbilst atjauninātajam Lagranža formulējumam.

Pāreja uz mazu deformāciju

Pie mazu deformāciju pieņēmumiem \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) un \(J \approx 1\) atšķirība starp pašreizējo un atskaites konfigurāciju izzūd, otrais PK spriegums sakrīt ar Košī spriegumu (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), bet gan Grīna–Lagranža deformācija, gan Almansi deformācijas lineārā daļa reducējas uz bezgalīgi mazo deformāciju \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Tad virtuālā darba princips reducējas uz vājo formu, kas izteikta ar Košī spriegumu \(\boldsymbol{\sigma}\) un bezgalīgi mazo deformāciju \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{uz} \ \Gamma_B \]

Šī ir vājā forma, ko tieši izmanto diskretizācijai mazu deformāciju lineāri elastīgā statiskā analīzē (Lineāri elastīgā statiskā analīze (ievads un pielikums) sāk no šīs formas un parāda elementa stinguma \(\boldsymbol{K}^e\) izveidi, montējot globālo vienādojumu \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Ievietojot lineāri elastīgo konstitutīvo likumu \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) un Foigta pierakstā rakstot \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), vājā forma kļūst par

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

kam ir šāda forma.

Saistītās tēmas