Pāriet uz saturu

Tenzoru pieraksts un matemātiskie pamati

Šajā nodaļā apkopotas tenzoru, indeksu un Foigta pieraksta konvencijas, kas tiek izmantotas turpmākajās FrontISTR teorijas rokasgrāmatas nodaļās. Šeit aprakstīti tikai tīri pieraksta noteikumi, kas nav atkarīgi no fizikālo lielumu definīcijām. No konfigurācijas (atsauces/pašreizējās) atkarīgās simbolu konvencijas, kas saistītas ar kontinuuma kustību (lielo un mazo burtu lietojums, materiālā un telpiskā atvasinājuma atšķiršana), ir aprakstītas sadaļā Kustība, deformēšanās un deformācija, kur ieviests konfigurācijas jēdziens.

Tenzoru pieraksts

Vektoru un tenzoru pieraksts treknrakstā

Rakstības pamatprincips ir šāds: skalārus un vektoru/tenzoru komponentus raksta parastā rakstā (piemēram, \(\rho\), \(x_i\)), bet pašus vektoru/tenzoru lielumus — treknrakstā (piemēram, \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einšteina summēšanas konvencija

Ja nav norādīts citādi, izmanto Einšteina summēšanas konvenciju: ja viens un tas pats indekss vienā loceklī parādās divas reizes, pa šo indeksu summē. Piemēram,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

un tenzoru \(\boldsymbol{A}\) un \(\boldsymbol{B}\) reizinājuma \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) \(i,j\) komponents ir

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Indeksu konvencijā, ja nav norādīts citādi, \(i, j, k, l, \ldots\) apzīmē brīvības pakāpju indeksus (trīs dimensijās \(1, 2, 3\)), bet mazie grieķu burti \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) apzīmē elementu veidojošo mezglu indeksus.

Iekšējais reizinājums, transponēšana un tenzoru reizinājums

Tenzora \(\boldsymbol{A}\) transponēto apzīmē ar \(\boldsymbol{A}^T\). Otrās kārtas tenzoru \(\boldsymbol{A}\) un \(\boldsymbol{B}\) iekšējo reizinājumu (dubulto kontrakciju) pieraksta kā

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Vektoru \(\boldsymbol{a}\) un \(\boldsymbol{b}\) skalārais reizinājums ir \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), bet tenzoru reizinājums ir \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Foigta pieraksts

Spriegums un deformācija ir simetriski otrās kārtas tenzori attiecībā uz brīvības pakāpēm, bet koeficients, kas raksturo lineāro sakarību starp tiem, ir ceturtās kārtas tenzors. Tieša šāda tenzora apstrāde programmā ir neizdevīga skaitļošanas un programmēšanas ziņā (daudzdimensionāli masīvi un dziļi ligzdoti cikli), tādēļ tipiskās galīgo elementu programmās, izmantojot simetriju, spriegumu un deformāciju saspiež kolonnu vektoros, bet ceturtās kārtas elastības tenzoru — divdimensiju matricā. To sauc par Foigta pierakstu.

Turpmāk tenzora lieluma \(\boldsymbol{A}\) matricas vai vektora pierakstu apzīmēsim ar \(\hat{A}\), lai to atšķirtu no sākotnējā tenzora.

Sprieguma un deformācijas vektoru pieraksts

Simetriskam sprieguma tenzoram \(\boldsymbol{\sigma}\) un deformāciju tenzoram \(\boldsymbol{\varepsilon}\) divdimensiju gadījumā

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

bet trīsdimensiju gadījumā

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

tos apstrādā kā kolonnu vektorus, kā parādīts iepriekš. To pašu noteikumu piemēro atvasinātiem lielumiem, piemēram, variācijām un diferenciāļiem. Ievērojiet, ka bīdes komponentiem deformācijas pusē ir koeficients 2 (sprieguma pusē tā nav). Šīs asimetrijas dēļ tenzoru iekšējo reizinājumu var kompakti pierakstīt kā vektoru iekšējo reizinājumu

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Šādā formā to var pierakstīt vienkārši. Implementācijā ir viegli sajaukt bīdes deformācijas komponentu koeficientu 2, tāpēc vienmēr jāievēro konvencija “spriegumam nav / deformācijai ir”. Tieši tādu pašu Foigta konvenciju piemēro lielumiem atsauces konfigurācijā (otrais Piolas–Kirhofa spriegums \(\boldsymbol{S}\) un Grīna–Lagranža deformācija \(\boldsymbol{E}\)).

Ceturtās kārtas tenzora matricas pieraksts

Sprieguma un deformācijas lineārajai sakarībai \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (komponentēs \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), izmantojot \(\boldsymbol{\varepsilon}\) simetriju, var rakstīt

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Trīs dimensijās, sakārtojot \(\tilde{C}\) kā 6×6 materiāla matricu \(\hat{\tilde{C}}\), sākotnējā tenzoru sakarība ir

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Turpmāk šajā rokasgrāmatā, ja nav norādīts citādi, materiāla matricu apzīmē ar \(D\) (vai \(\hat{C}\)). Konkrētos izotropās lineārās elastības komponentus skatiet sadaļā Lineārā elastība.

Diferenciālo operatoru konvencijas

Simetriskā gradienta operators

Vektoru laukam \(\boldsymbol{u}\) simetriskā gradienta operatoru \(\nabla_S\) definē kā

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Komponentēs \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Mazu deformāciju tenzors \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ar šo operatoru izsakāms kompakti. Gradientam izmantotās konfigurācijas (atsauces/pašreizējās) izvēle galīgu deformāciju gadījumā aplūkota sadaļā Kustība, deformēšanās un deformācija.

Materiālais laika atvasinājums

Lieluma \(A\) materiālo laika atvasinājumu (laika atvasinājumu, sekojot vienam un tam pašam materiālajam punktam) apzīmē ar punktu virs simbola, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Ātrums un paātrinājums ievēro šo konvenciju.

Saistītās tēmas