Pāriet uz saturu

Konverģences kritēriji

Kā Ņūtona–Rafsona iterāciju pārtraukšanas nosacījumu (Ņūtona–Rafsona metode), FrontISTR izmanto divas bezdimensiju lielumu sistēmas — reziduo normas kritēriju un korekcijas normas kritēriju. Abiem ir vienāda definīcija neatkarīgi no analīzes veida (statiskā analīze, implicītās metodes dinamiskā analīze) un no kontakta klātbūves.

Novērtējamo lielumu sadale

Mezglu brīvības pakāpēs ir sajauktas dažādu fizikālo dimensiju sastāvdaļas. 6 brīvības pakāpju elementiem translācijas brīvības pakāpju reziduo ir spēka dimensija, bet rotācijas brīvības pakāpju reziduo — momenta dimensija. Turklāt kontakta analīzē ar Lagranža reizinātāju metodi reziduo vektorā ir rindas, kas atbilst kontakta spraugai (garuma dimensija).

Ja tos apvienotu vienā kvadrātu summā, normas vērtība atkarībā no mērvienību sistēmas izvēles mainītos patvaļīgi, un sliekšņa nozīme netiktu noteikta. Tāpēc FrontISTR sadala novērtējamos lielumus pa dimensijām un novērtēšanu veic pēc tam, kad katrs no tiem ir nedimensionalizēts ar atbilstošo atskaites lielumu.

Simbol Sastāvdaļa Dimensija
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Translācijas brīvības pakāpju (mezglu brīvības pakāpes 1–3) reziduo Spēks
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Rotācijas brīvības pakāpju (mezglu brīvības pakāpes 4–6, tikai 6 brīvības pakāpju elementi) reziduo Moments
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Lagranža reizinātāja korekcija Spēks

Šķidruma sajūgas elementiem (4 mezglu brīvības pakāpes, \(u,v,w,p\)) spiediena brīvības pakāpe netiek iekļauta novērtējumā.

Sijām un čaulas elementiem ar 3 mezglu brīvības pakāpēm (641/761/781) rotāciju izsaka ar viltusmezglu brīvības pakāpēm 1–3, un viltusmezgls veido pāri ar translācijas mezglu. Tā kā novērtējums neatšķir viltusmezglus, viltusmezglu reziduo (moments) tiek iekļauts arī translācijas sastāvdaļā \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Tas pats attiecas arī uz korekcijas normas kritēriju un novērtējumu pēc maksimālās vērtības.

Reziduo \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) neietver to brīvības pakāpju sastāvdaļas, kurām ir uzlikts pārvietojuma nostiprinājums. Tas ir tāpēc, ka šajās brīvības pakāpēs parādītais reziduo atbilst nostiprinājuma reakcijas spēkiem un nav līdzsvara kļūda (Ņūtona–Rafsona metode).

Reziduo normas kritērijs

\(i\). iterācijas reziduo \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) nedimensionalizē ar to spēku lielumu, kas tajā brīdī rodas sistēmā. Translācijas sastāvdaļas atskaites spēku \(F_\mathrm{ref}\) un rotācijas sastāvdaļas atskaites momentu \(M_\mathrm{ref}\) nosaka šādi:

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

Šeit \(\boldsymbol{Q}\) ir iekšējo spēku vektors, bet \(\boldsymbol{D}\) — inerces un viskozo spēku summa

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(dinamiskā analīze). Statiskajā analīzē \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Indeksi \(t, r\) apzīmē iepriekšējā sadaļā minētās translācijas un rotācijas sastāvdaļas. Novērtējamie lielumi ir:

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

Atskaites spēku ņem nevis kā iekšējo un inerces/viskozo spēku vektoru summu \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), bet kā to normu maksimālo vērtību. Tas ir tāpēc, ka brīvās svārstībās bez ārējiem spēkiem līdzsvara stāvoklī \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\), un vektoru summas atskaites lielums nokristu līdz \(0\). Izmantojot normu maksimālo vērtību, šāda kompensācija nenotiek.

Ja atskaites lielums ir mazāks par iepriekš noteikto apakšējo robežu (\(10^{-8}\)) (piemēram, pirmajā iterācijā, sākot no bezslodzes stāvokļa), nedalās ar atskaites lielumu, un par novērtējamo lielumu ņem pašu reziduo normu. Šajā gadījumā novērtējums tiek veikts pēc reziduo absolūtās vērtības.

Korekcijas normas kritērijs

\(i\). iterācijā iegūto korekciju \(d\boldsymbol{u}_i\) nedimensionalizē ar līdz tam brīdim konkrētajā apakšsolī uzkrāto pārvietojumu pieaugumu \(\Delta\boldsymbol{u}\).

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Tas, ka korekcija ir kļuvusi pietiekami maza salīdzinājumā ar uzkrāto pieaugumu, nozīmē, ka iterācija ir apstājusies. To izmanto kā papildu kritēriju uzdevumiem, kuros reziduo samazinās tikai lēnām. Ja saucējs ir \(0\), šis kritērijs tiek uzskatīts par neizpildītu.

Lagranža reizinātāja kritērijs

Kontakta analīzē ar Lagranža reizinātāju metodi novērtējumam pievieno reizinātāja korekciju, kas nedimensionalizēta ar paša reizinātāja lielumu:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Tā kā kontakta spraugas ierobežojums vienādojumu sistēmā ir iekļauts kā vienādojums Lagranža reizinātājiem, to, ka reizinātāji ir konverģējuši, uzskata par to, ka ierobežojums ir izpildīts. Pats spraugas reziduo, kam ir garuma dimensija, netiek iekļauts reziduo normas kritērijā, jo to nevar saskaitīt ar spēka reziduo.

Lagranža reizinātāji ir kontakta spēki, un tiem ir tāda pati dimensija kā atskaites spēkam \(F_\mathrm{ref}\), tāpēc saucēju no apakšas ierobežo ar \(F_\mathrm{ref}\). Nedimensionalizējot tikai ar \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\), tad, ja kontakts gandrīz nenēsā slodzi, novērtējums kļūtu bezgala stingrs; turklāt mezglos, kas tikko nonākuši kontaktā, \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\), bet \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), un nosacījums nevar tikt izpildīts. Apstrāde gadījumā, ja saucējs ir mazāks par apakšējo robežu, ir tāda pati kā reziduo normas kritērijā.

Novērtējums pēc maksimālās vērtības

Tā kā L2 norma ir visu brīvības pakāpju kvadrātu summa, reziduo, kas paliek tikai dažos mezglos, jo vairāk mezglu, jo vairāk izplūst pa visu sistēmu un tiek novērtēts kā mazāks. Lai uztvertu lokālus līdzsvarā neesošos stāvokļus, piemēram, kontakta mezglos, var izmantot arī novērtējumus, kuros katrā iepriekš minētajā kritērijā L2 norma ir aizstāta ar brīvības pakāpju sastāvdaļu absolūto vērtību maksimumu.

Vektora \(\boldsymbol{v}\) translācijas sastāvdaļas maksimumu, ņemot vērā mezglu \(I\) un mezglu brīvības pakāpi \(k\), nosaka šādi:

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Rotācijas sastāvdaļu \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) nosaka līdzīgi ar \(k = 4,5,6\), bet Lagranža reizinātājiem ņem visu sastāvdaļu absolūto vērtību maksimumu. Novērtējamie lielumi ir tādi, ka katrā kritērijā L2 norma tiek aizstāta ar šo maksimumu gan skaitītājā, gan saucējā.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Rotācijas sastāvdaļas apstrādā līdzīgi. Apstrāde gadījumos, kad atskaites lielums ir mazāks par apakšējo robežu, un kad saucējs ir \(0\), ir tāda pati kā L2 normas kritērijos.

Atskaites lielumus arī ņem kā tāda paša veida maksimumus, lai novērtējamo lielumu lielums saglabātos līmenī, kas salīdzināms ar L2 normas kritērijiem, un varētu izmantot līdzīgus sliekšņus. Katru brīvības pakāpes sastāvdaļu nedala ar atšķirīgu atskaites lielumu. Tas ir tāpēc, ka bezslodzes virzienos atskaites lielums tuvinās \(0\) un novērtējamais lielums zaudētu nozīmi.

Novērtējumā pēc maksimālās vērtības tiek noteikts mezgls un brīvības pakāpe, kas dod maksimumu. FrontISTR to izvada katras iterācijas žurnālā gan par reziduo, gan par korekciju.

Novērtējumu kombinācija

Katru iepriekš minēto novērtējamo lielumu (par reziduo, korekciju un Lagranža reizinātājiem, translācijas un rotācijas sastāvdaļām, L2 normu un maksimālo vērtību) var atsevišķi norādīt, vai to izmantot novērtējumā (CHECK), vai neizmantot (SKIP). Pēc noklusējuma visi L2 normas novērtējumi ir CHECK, un visi novērtējumi pēc maksimālās vērtības ir SKIP.

Reziduo normas kritēriju un korekcijas normas kritēriju par konverģējušu uzskata, ja ir izpildīts viens no abiem. Lagranža reizinātāja kritērijs turpretī ir kontakta ierobežojumu izpildes pārbaude, tāpēc analīzēs, kurās pastāv Lagranža reizinātāji, to vienmēr prasa. Vienā konkrētā kritērijā jāizpilda visi CHECK norādītie, gan starp translācijas un rotācijas sastāvdaļām, gan starp L2 normu un maksimālo vērtību.

Lai to izteiktu ar formulu, novērtējamo lielumu grupai \(G\) definē divus lielumus:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ ir izpildīts} \ \vee\ m \text{ ir SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ ir CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) ir patiess, ja grupā \(G\) nav neviena CHECK norādīta novērtējamā lieluma. Konverģences nosacījums ir:

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Lagranža reizinātāja kritērijs}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{korekcijas normas kritērijs}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{korekcijas normas kritērijs}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{reziduo normas kritērijs}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{reziduo normas kritērijs}) \right) \right\} \]

\(\mathrm{any\_check}\) ir pievienots abām grupām, ko savieno ar "vai", lai grupa bez neviena CHECK norādīta lieluma neļautu novērtējumam izslīdēt cauri. Rotācijas sastāvdaļas analīzēs bez rotācijas brīvības pakāpēm un Lagranža reizinātāja kritērijs analīzēs bez Lagranža reizinātājiem netiek izmantoti novērtējumā pat tad, ja ir norādīts CHECK. Pēc noklusējuma iestatījumiem konverģences nosacījums ir:

\[ \left( \text{Lagranža reizinātāja kritērijs} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{korekcijas normas kritērijs} \right) \ \vee\ \left( \text{reziduo normas kritērijs} \right) \right\} \]

Analīzēs ar rotācijas brīvības pakāpēm tiek novērtētas gan translācijas, gan rotācijas sastāvdaļas, bet analīzēs bez Lagranža reizinātājiem tiek novērtēts nosacījums, izņemot Lagranža reizinātāja kritēriju.

L2 normas novērtējumu sliekšņu \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) norādes veidu un noklusējuma vērtības skatīt !STEP; CHECK/SKIP un maksimālās vērtības novērtējumu sliekšņus — !CONVERG_PARAM; bet lietošanas vadlīnijas — Nelineārās iterācijas un laika integrēšana (funkcijas).

Saistītās tēmas