Pāriet uz saturu

Dinamiskās analīzes metodes

Šajā sadaļā aprakstītas dinamisku uzdevumu analīzes metodes, izmantojot tiešo integrēšanu laikā. Tālāk sniegti implicītās un eksplicītās metodes formulējumi.

Kustības vienādojuma diskretizācija (kopīgā shēma)

Vēl nav noteikts (jāpabeidz nākamajā posmā).

Implicītā metode (Ņūmarka-β metode)

Dinamisku uzdevumu risināšanai kustības vienādojumam, kas dots tālāk, izmanto tiešās integrēšanas laikā metodi.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Šeit \(M\) ir masas matrica, \(C\) ir slāpēšanas matrica, \(Q\) ir iekšējo spēku vektors, bet \(F\) ir ārējo spēku vektors. Tiek pieņemts, ka masas matrica neatkarīgi no deformācijas paliek nemainīga arī nelineārā analīzē.

Pārvietojuma, ātruma un paātrinājuma izmaiņas laika pieauguma \(\Delta t\) laikā aproksimē ar Ņūmarka-\(\beta\) metodi, kā parādīts vienādojumos \(\eqref{eq:2.5.2}\) un \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Šeit \(\gamma\) un \(\beta\) ir Ņūmarka-\(\beta\) metodes parametri.

Kā zināms, tālāk norādītās \(\gamma\) un \(\beta\) vērtības atbilst attiecīgi lineārā paātrinājuma metodei un trapeces metodei.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (lineārā paātrinājuma metode)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapeces metode)

Ievietojot vienādojumus \(\eqref{eq:2.5.2}\) un \(\eqref{eq:2.5.3}\) vienādojumā \(\eqref{eq:2.5.1}\), iegūst šādu vienādojumu.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Jo īpaši lineāram uzdevumam \(K_L\) ir lineārā stinguma matrica un \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Ievietojot šo sakarību iepriekšējā vienādojumā, iegūst šādu vienādojumu.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Vietās, kur paātrinājums ir noteikts kā ģeometriskais robežnosacījums, pārvietojumu no vienādojuma \(\eqref{eq:2.5.2}\) iegūst šādi.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Līdzīgi vietās, kur ir noteikts ātrums, pārvietojumu no vienādojuma \(\eqref{eq:2.5.6}\) iegūst šādi.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Šeit \(u_{is}(t+\Delta{t})\) ir mezgla pārvietojums laikā \(t+\Delta{t}\), bet \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ir mezgla ātrums laikā \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ir mezgla paātrinājums laikā \(t+\Delta{t}\), \(i\) ir mezgla brīvības pakāpes numurs, bet \(s\) ir mezgla numurs. Masas un slāpēšanas locekļus apstrādā šādi.

Masas matricas apstrāde

Masas matricu principā apstrādā kā koncentrēto masas matricu.

Slāpēšanas matricas apstrāde

Slāpēšanas locekli apstrādā kā Releja slāpēšanu, ko izsaka vienādojums \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Šeit \(R_m\) un \(R_k\) ir Releja slāpēšanas parametri.

!DYNAMIC kartē norādītie \(R_m\) un \(R_k\) tiek vienādi piemēroti visam modelim. Ja katram materiālam jāpiešķir atšķirīgi \(R_m\) un \(R_k\), attiecīgā materiāla !MATERIAL blokā norādiet !DAMPING karti. Elementiem, kas pieder materiālam ar norādītu !DAMPING, elementa slāpēšanas matrica tiek aprēķināta no attiecīgā elementa masas matricas \(M_i\) un pieskares stinguma matricas \(K_i\) kā \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) un samontēta globālajā slāpēšanas matricā. Šī funkcija ir spēkā tikai implicītajai metodei.

Eksplicītā metode (centrālo diferenču metode)

Eksplicītā metode balstās uz tālāk parādīto kustības vienādojumu laikā t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Izsakot pārvietojumus laikos \(t + \Delta t\) un \(t - \Delta t\) ar Teilora rindas izvirzījumiem ap laiku \(t\) un saglabājot locekļus līdz otrajai kārtai pēc \(\Delta t\), iegūst šādus vienādojumus.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Atņemot un saskaitot vienādojumus \(\eqref{eq:2.5.3}\) un \(\eqref{eq:2.5.4}\), iegūst šādus vienādojumus.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Ievietojot vienādojumus \(\eqref{eq:2.5.12}\) un \(\eqref{eq:2.5.13}\) vienādojumā \(\eqref{eq:2.5.9}\), iegūst šādu vienādojumu.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Jo īpaši lineāram uzdevumam \(Q(t) = K_L U(t)\), un iepriekšējais vienādojums kļūst par

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Ja masas matricu \(M\) pieņem kā koncentrēto masas matricu un slāpēšanas matricu kā proporcionālu slāpēšanas matricu \(C = R_m M\), vienādojumā \(\eqref{eq:2.5.15}\) nav jārisina vienlaicīgu vienādojumu sistēma.

Tādēļ no vienādojuma \(\eqref{eq:2.5.15}\) \(U(t+\Delta t)\) var iegūt ar šādu vienādojumu.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Saistītās tēmas