Modālā analīze¶

Vispārinātā īpašvērtību problēma¶

Analizējot kontinuuma brīvās svārstības, konstrukciju telpiski diskretizē un modelē kā sistēmu ar vairākām brīvības pakāpēm un koncentrētām masām, kā parādīts 2.3.1. attēlā. Nedzēstu brīvo svārstību problēmai noteicošais vienādojums (kustības vienādojums) ir šāds.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Šeit $u$ ir vispārināto pārvietojumu vektors, $M$ ir masas matrica, bet $K$ ir stinguma matrica. Lai $\omega$ ir dabiskā leņķiskā frekvence, $a$ un $b$ ir patvaļīgas konstantes, kas nav abas vienlaikus nulle, un $x$ ir vektors. Definēsim funkciju

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Tās otrais atvasinājums ir

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Ievietojot vienādojumu $\eqref{eq:2.3.2}$ un vienādojumu $\eqref{eq:2.3.3}$ vienādojumā $\eqref{eq:2.3.1}$, iegūst

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Tādējādi iegūst iepriekš norādīto vienādojumu.

Netriviālu svārstību gadījumā $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ nav identiski vienāds ar nulli.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Tāpēc iegūst iepriekš norādīto sakarību. Pieņemot $\lambda=\omega^2$, iegūst

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Tādējādi iegūst iepriekš norādīto vienādojumu.

Skalāru $\lambda$ sauc par īpašvērtību, vektoru $x$ — par īpašvektoru, bet problēmu, ko izsaka vienādojums $\eqref{eq:2.3.5}$, — par vispārināto īpašvērtību problēmu.

Dabisko leņķisko frekvenci $\omega$ iegūst no īpašvērtības $\lambda=\omega^2$, un atbilstošais īpašvektors $x$ raksturo svārstību formu.

Sistēmas ar vairākām brīvības pakāpēm piemērs nedzēstu brīvo svārstību gadījumā

2.3.1. attēls. Sistēmas ar vairākām brīvības pakāpēm piemērs nedzēstu brīvo svārstību gadījumā

Matricu īpašības un pieņēmumi¶

Vispārinātajai īpašvērtību problēmai $Kx=\lambda Mx$, kas iegūta iepriekšējā sadaļā, šajā rokasgrāmatā pieņem, ka matricas ir simetriskas. Kompleksām matricām tas atbilst Ermīta matricām, bet reālām matricām — simetriskām matricām.

Lai $k_{ij}$ ir matricas $K$ elements $ij$. Ermīta īpašība ir

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

izteikta ar iepriekš norādīto vienādojumu, kur $\bar{k}_{ji}$ ir skaitļa $k_{ji}$ kompleksi saistītais lielums. Reālām matricām šī sakarība kļūst par $k_{ij}=k_{ji}$.

Reāla simetriska matrica $H$ ir pozitīvi definita, ja jebkuram vektoram $x$, kas nav nulles vektors,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ir spēkā iepriekš norādītā nevienādība. Šajā gadījumā visas matricas $H$ īpašvērtības ir pozitīvas.

Konstrukcijas īpašvērtību problēmā masas matricu $M$ parasti uzskata par pozitīvi definitu. Savukārt stinguma matrica $K$ atkarībā no ierobežojumiem var būt pozitīvi pusdefinita un tai var būt nulles īpašvērtības, kas atbilst stingra ķermeņa modām.

Nobīdītā inversā iterācija¶

Praktiskā konstrukciju analīzē ar galīgo elementu metodi parasti nav nepieciešamas visas īpašvērtības; bieži pietiek ne vairāk kā ar dažām zemākās kārtas īpašvērtībām. HEC-MW ir paredzēts liela mēroga problēmām, kurās matricas ir lielas un ārkārtīgi retas, ar daudziem nulles elementiem. Tāpēc ir svarīgi efektīvi aprēķināt zemākās kārtas modu īpašvērtības, ņemot vērā šīs īpašības.

Nobīdei $\sigma$, ja $-\sigma$ nav īpašvērtība un $K+\sigma M$ ir nesingulāra matrica, vienādojumu $\eqref{eq:2.3.5}$ var pārveidot šādi.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Šis pārveidojums atstāj īpašvektoru $x$ nemainīgu un attēlo īpašvērtību $\lambda$ par $1/(\lambda+\sigma)$.

Tādējādi, jo tuvāk $\lambda$ ir vērtībai $-\sigma$, jo lielāka ir pārveidotās īpašvērtības absolūtā vērtība. Konstrukcijas īpašvērtību problēmā $\lambda \geq 0$ un $\sigma \geq 0$, tāpēc zemākā īpašvērtība tiek attēlota par īpašvērtību ar lielāko absolūto vērtību. Izmantojot šo īpašību un vienādojumam $\eqref{eq:2.3.8}$ lietojot iteratīvu metodi, kas tiecas vispirms konverģēt uz īpašvērtībām ar lielu absolūto vērtību, zemākās kārtas īpašvērtības var efektīvi iegūt augošā secībā.

Šo metodi sauc par nobīdīto inverso iterāciju.

Analīzēm ar ierobežojumiem FrontISTR iestata $\sigma = 0$, un vienādojums $\eqref{eq:2.3.8}$ kļūst par $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, proti, inverso iterāciju bez nobīdes. Neierobežotā brīva–brīva analīzē $K$ ir singulāra, jo tai ir nulles īpašvērtības, kas atbilst stingra ķermeņa modām; piešķirot parametram $\sigma$ pozitīvu vērtību, matrica $K+\sigma M$ tiek regularizēta. Parametra $\sigma$ vērtību norāda ar SIGMA blokā !EIGEN.

Lanczos metode¶

Izvēles iemesls (salīdzinājums ar Jakobi metodi)¶

Jakobi metode ir labi zināma klasiska metode.

Tā ir efektīva, ja matrica ir maza un blīva. Tomēr, tā kā HEC-MW apstrādātās matricas ir lielas un retas, Jakobi metodi neizmanto; tās vietā izmanto iteratīvo Lanczos metodi.

Algoritms un īpašības¶

Šī metode, ko C. Lanczos ierosināja 20. gadsimta 50. gados, ir matricas tridiagonalizācijas algoritms ar šādām īpašībām.

Tā ir iteratīva metode, kas ļauj veikt aprēķinus, saglabājot matricu retu.
Tās operācijas galvenokārt sastāv no matricas un vektora reizinājumiem, tāpēc tā ir labi piemērota paralelizācijai.
Tā ir labi piemērota ģeometriskai apgabala dekompozīcijai, kas saistīta ar galīgo elementu tīkliem.
Tā ļauj efektīvi veikt aprēķinus, ierobežojot iegūstamo īpašvērtību skaitu vai modu diapazonu.

Lanczos metode sākas ar sākuma vektoru, secīgi konstruē ortogonālus vektorus un iegūst Krilova apakštelpas bāzi.

Galīgas precizitātes aritmētikā noapaļošanas kļūdas var izraisīt vektoru ortogonalitātes zudumu. Lai mazinātu šo ietekmi, FrontISTR realizācija katru vektoru atkārtoti ortogonalizē attiecībā pret jau iegūtajiem Lanczos bāzes vektoriem.

Ģeometriskā nozīme (Krilova apakštelpa)¶

Piemērojot vienādojumam $\eqref{eq:2.3.8}$ šādus mainīgo pārveidojumus,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problēmu var pārrakstīt kā

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Tādējādi iegūst iepriekš norādīto vienādojumu.

Jebkuram vektoram $q_0$, kas nav nulles vektors,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

telpu, ko ģenerē šie vektori,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

sauc par Krilova apakštelpu.

Lanczos metode secīgi konstruē šīs Krilova apakštelpas bāzi.

FrontISTR izmanto šādu skalāro reizinājumu, kas saistīts ar masas matricu $M$,

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

lai ortonormalizētu bāzi. Turpmākajos attēlos parādīto skalāro reizinājumu $\langle x,y\rangle$ un normu $\|x\|$ FrontISTR aprēķinos interpretē kā šo $M$-skalāro reizinājumu un tam atbilstošo $M$-normu

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

attiecīgi.

Jebkuram vektoram $q_0$ piemēro lineāro pārveidojumu, ko definē matrica $A$, kā parādīts 2.3.2. attēlā.

$Vektora $q_0$ lineārais pārveidojums ar matricu $A$$

2.3.2. attēls. Vektora $q_0$ lineārais pārveidojums ar matricu $A$

Pārveidoto vektoru ortogonalizē telpā, ko tas ģenerē kopā ar sākotnējo vektoru. Konkrēti, veic Grama–Šmita ortogonalizāciju, kā parādīts 2.3.3. attēlā. Lai iegūtais vektors ir $r_1$; to normalizējot, iegūst $q_1$.

$Vektors $q_1$, kas ir ortogonāls vektoram $q_0$$

2.3.3. attēls. Vektors $q_1$, kas ir ortogonāls vektoram $q_0$

Ar tādu pašu procedūru no $q_1$ iegūst $q_2$. Šeit $q_2$ ir ortogonāls gan vektoram $q_1$, gan vektoram $q_0$, kā parādīts 2.3.4. attēlā.

$Vektors $q_2$, kas ir ortogonāls vektoriem $q_1$ un $q_0$$

2.3.4. attēls. Vektors $q_2$, kas ir ortogonāls vektoriem $q_1$ un $q_0$

Šādā veidā Lanczos metode secīgi konstruē Krilova apakštelpas ortonormālu bāzi. Teorētiski īpašvērtību problēmas simetrija ļauj izteikt šo iterāciju kā trīs locekļu rekurences sakarību, kurā ietverti jaunākie bāzes vektori.

Tomēr FrontISTR realizācija katru vektoru atkārtoti ortogonalizē attiecībā pret jau iegūtajiem Lanczos bāzes vektoriem, izmantojot $M$-skalāro reizinājumu, lai mazinātu galīgas precizitātes aritmētikas izraisīto ortogonalitātes zudumu.

Tridiagonalizācija¶

FrontISTR Lanczos iterācijā bāzes vektorus ortonormalizē attiecībā pret iepriekšējā sadaļā aprakstīto $M$-skalāro reizinājumu, tāpēc

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ir spēkā iepriekš norādītā sakarība.

Izmantojot vienādojuma $\eqref{eq:2.3.10}$ matricu $A$, teorētiskā Lanczos iterācija ir

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

izteikta ar iepriekš norādīto trīs locekļu rekurences sakarību.

Vispirms $\alpha_i$ definē šādi.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Pēc tam pagaidu atlikumu definē kā

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

parādīts iepriekš.

Lai mazinātu galīgas precizitātes aritmētikas izraisīto ortogonalitātes zudumu, FrontISTR realizācija atkārtoti ortogonalizē $\tilde{r}_{i+1}$ attiecībā pret jau iegūtajiem Lanczos bāzes vektoriem, izmantojot $M$-skalāro reizinājumu. Ja $r_{i+1}$ ir atlikums pēc atkārtotas ortogonalizācijas, tad

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

ir spēkā iepriekš norādītās sakarības.

Apvienosim $m$ bāzes vektorus, kas iegūti Lanczos iterācijā, kā

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Tad pēc galīga Lanczos iterāciju skaita

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

ir spēkā iepriekš norādītā sakarība.

Šeit $e_m$ ir $m$-dimensiju vienības vektors, kura $m$-tā komponente ir 1, bet visas pārējās komponentes ir nulle, un

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ir simetriska tridiagonāla matrica.

Tādējādi sākotnējās liela mēroga īpašvērtību problēmas īpašvērtības var tuvināt, aprēķinot tridiagonālās matricas $T_m$ īpašvērtības.

Saistītās tēmas¶

Frekvenču atbildes analīze — Frekvenču atbilde, izmantojot modālās analīzes rezultātus
Analīzes veidi — Modālās analīzes funkcionālais pārskats