Nestacionārā siltumvadīšanas analīze
Parādīta cietvielu siltumvadīšanas analīzes laika diskretizācija un iteratīvā risināšanas metode ar galīgo elementu metodi (Finite Element Method). Kontinuuma valdošo vienādojumu un robežnosacījumus skatiet sadaļā Siltumvadīšanas vienādojums.
Diskretizētais vienādojums (sākumpunkts)
Diskretizējot siltumvadīšanas vienādojumu (siltumvadīšanas vienādojuma formula (gov_he_main)) ar Galerkina metodi, iegūst
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
kur
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
Šeit \(K\), \(M\), \(F\) un \(N\) ir attiecīgi siltumvadīšanas matrica (ietverot konvekcijas un starojuma robežu ieguldījumus), masas matrica, siltuma slodzes vektors un formas funkciju matrica. Materiāla īpašību simbolu (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) u.c.) definīcijas atbilst sadaļai Siltumvadīšanas vienādojums.
Laika diskretizācija un iteratīvā risināšana
Vienādojums \(\eqref{eq:2.4.8}\) ir nelineārs un nestacionārs vienādojums. Diskretizējot laiku ar atpakaļejošo Eilera metodi un pieņemot, ka temperatūra laikā \(t=t_0\) ir zināma, temperatūru laikā \(t=t_0+\Delta t\) aprēķina ar šādu vienādojumu.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
Aplūkojam temperatūras vektora \(\eqref{eq:2.4.13}\), kas aptuveni apmierina vienādojumu \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), uzlabošanu, lai iegūtu precīzāku risinājumu \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).
Šim nolūkam vispirms temperatūras vektoru izsaka šādi.
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
Siltumvadīšanas matricas un temperatūras vektora reizinājumu, masas matricu u.c. aptuveni izsaka šādi.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
Ievietojot vienādojumus \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) un \(\eqref{eq:2.4.16}\) vienādojumā \(\eqref{eq:2.4.13}\) un atmetot otrās un augstākas kārtas locekļus, iegūst šādu vienādojumu.
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
Turklāt kreisās puses koeficientu matricu aptuveni novērtē ar šādu vienādojumu.
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
Šeit \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) ir pieskares stinguma matrica.
Rezultātā temperatūru laikā \(t=t_0+\Delta t\) var aprēķināt, veicot iteratīvu aprēķinu ar šādu vienādojumu.
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
Jo īpaši stacionārā analīzē iteratīvo aprēķinu veic ar šādu vienādojumu.
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
Nestacionārā analīzē laika pieauguma \(\Delta t\) izvēlei, tā kā laika diskretizācijā tiek izmantota implicītā metode, parasti nav stingru lieluma ierobežojumu. Tomēr, ja laika pieaugums \(\Delta t\) ir pārāk liels, iteratīvajā aprēķinā palielinās konverģencei nepieciešamo iterāciju skaits. Parasti, ja laika pieaugums \(\Delta t\) ir pārāk liels, iterāciju skaits palielinās. Realizācijā tiek uzraudzīts atlikuma vektora lielums; ja konverģence ir lēna, \(\Delta t\) samazina, bet, ja iterāciju skaits ir mazs, \(\Delta t\) palielina, izmantojot automātisko pieauguma vadību (→ sīkāk skatiet Soļu vadība).
Saistītās tēmas