Нелинеарни итерации и временска интеграција¶

FrontISTR го унапредува решението со комбинирање на нелинеарни итерации и временска интеграција во секој подчекор во рамките на контролата на прирастот за секој чекор. Оваа страница ги опишува итеративните структури што се наоѓаат меѓу надворешната контрола на чекорите и внатрешниот линеарен решавач: Newton-Raphson итерации, контактни итерации, временска интеграција за динамичка анализа и рамката за временско напредување и нелинеарни итерации во нестационарно спроведување на топлина.

Преглед на функциите¶

Нелинеарното решавање и временската интеграција во еден чекор имаат вгнездена структура составена од повеќе јамки, од надвор кон внатре. Секој слој ја има следната улога.

Кои од овие слоеви се појавуваат зависи од типот на анализата.

За изборот на самиот тип контакт и алгоритам, видете Контакт и вградување. Оваа страница опишува како избраниот алгоритам е организиран како итеративна јамка.

Избор на шема за решавање¶

Итеративната структура автоматски се определува од избраниот тип на анализа (Типови анализа), присуството или отсуството на нелинеарност (геометриска нелинеарност, материјална нелинеарност или контакт) и контактниот алгоритам (SLAGRANGE или ALAGRANGE). Корисникот директно ги приспособува горните граници на бројот на итерации и критериумите за конвергенција.

При приспособување на овие поставки важат следните насоки.

• За стандардни анализи, зададената горна граница на бројот на итерации обично е доволна. Ако проблем што тешко конвергира го достигне максималниот број итерации без конвергенција, прво користете cutback (Контрола на чекори); зголемете ја горната граница само ако тоа не ја подобри конвергенцијата.
• Приспособете ги критериумите за конвергенција така што ќе се балансираат стабилноста на анализата и времето на пресметување. Построгите критериуми ја подобруваат точноста на рамнотежата, но го зголемуваат бројот на итерации. Во контактни анализи и анализи со Лагранжов множители, комбинирањето на критериумот за прираст на поместување или Лагранжов критериумот со критериумот за резидуал може да ја подобри стабилноста.
• За параметрите на временската интеграција во динамичка анализа (коефициентите на Newmark-β), започнете со стандардна комбинација на вредности и приспособувајте ги кога ги менувате карактеристиките на нумеричкото пригушување на вибрациониот одзив.
• За шемата на временска интеграција во нестационарно спроведување на топлина, користете Crank-Nicolson за проблеми со мазни температурни промени, а Backward Euler кога се поважни наглите промени или долгорочната стабилност.

Newton-Raphson итерација во статичка анализа¶

Во нелинеарна статичка анализа, равенките на рамнотежа што содржат геометриска или материјална нелинеарност се решаваат итеративно со Newton-Raphson методот. Секоја итерација се одвива на следниот начин.

1. Пресметајте го резидуалниот вектор \(\boldsymbol{R}\) за тековното решение.
2. Составете ја тангентната матрица на крутост \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Решете го линеарниот систем \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) за да се добие корекцијата на поместувањето \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Ажурирајте го решението како \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Споредете со критериумите за конвергенција. Ако е постигната конвергенција, завршете ја итерацијата; во спротивно вратете се на чекор 1.

Линеарниот решавач го извршува решавањето на линеарниот систем (чекор 3). За избор на решавач и предусловувач, видете Решавач и предусловување.

Итерацијата се контролира со параметрите за контрола на чекорите од !STEP. Главните контролни вредности се следниве.

Максималниот број Newton итерации што се користи во одлуките за автоматски прираст и cutback во Контрола на чекори го означува бројот на Newton итерации опишани на оваа страница. Контролата на автоматскиот прираст го зголемува временскиот прираст по подчекор што конвергирал со мал број итерации и го намалува по подчекор што барал многу итерации.

Контактна итерација во статичка анализа¶

Во контактна анализа, контактната состојба се менува во текот на итерацијата поради контакт, раздвојување и лизгање на контактните површини, па Newton итерацијата се комбинира со ажурирања на контактната состојба. Структурата зависи од алгоритамот за решавање на контактот.

И двата алгоритма поставуваат јамка за пребарување на контактната состојба на најнадворешното ниво. При секое поминување низ оваа јамка, контактната состојба (контакт/раздвојување) повторно се оценува откако внатрешната Newton итерација ќе конвергира. Ако состојбата се променила, структурата на матрицата на крутост се ажурира и внатрешната итерација се извршува повторно. Јамката завршува кога контактната состојба е непроменета во однос на претходното поминување и се исполнети критериумите за контактна конвергенција (критериуми за контактна сила и Лагранжов множител). Горната граница на бројот на поминувања се задава со MAXCONTITER од !STEP.

Кај контакт SLAGRANGE, контактните степени на слобода се вклучуваат во линеарниот систем со стандардниот метод на Лагранжов множители, со што се добива двослојна структура во која Newton итерацијата е поставена директно во јамката за пребарување на контактната состојба. Не се користи итерација на проширениот Лагранжов метод со множители.

Кај контакт ALAGRANGE, итерација на проширениот Лагранжов метод со множители се додава во јамката за пребарување на контактната состојба, а Newton итерацијата се изведува внатре во неа, со што се добива трислојна структура. Во секоја итерација на проширениот Лагранжов метод со множители, контактното ограничување повторно се оценува со комбинација од пеналниот член и Лагранжов множителот, при што постепено се подобрува точноста на ограничувањето. Горната граница на бројот на итерации на проширениот Лагранжов метод со множители се задава со AUGITER од !CONTACT_ALGO.

Контролните вредности за контактната итерација се следниве.

Бројот на контактни итерации што се користи во одлуките за автоматски прираст во Контрола на чекори го означува бројот на итерации опишани на оваа страница, вклучително и ажурирањата на контактната состојба. Анализите во кои често се јавуваат контакт и раздвојување имаат тенденција да бараат повеќе контактни итерации, што влијае и врз одлуките за автоматски прираст и cutback. За типовите контакт, дефинициите на парови и изборот на алгоритам, видете Контакт и вградување. За решавањето на линеарниот систем што содржи контактни степени на слобода, видете Решавач и предусловување.

Временска интеграција во динамичка анализа (имплицитен метод)¶

Имплицитниот метод за динамичка анализа го користи Newmark-β методот за поврзување на поместувањето, брзината и забрзувањето во следното време во секој временски чекор и ги комбинира овие релации со равенката на движење за да ја добие состојбата во времето \(t + \Delta t\). Ограничувањето на стабилноста за временскиот чекор \(\Delta t\) е благо, што овозможува ефикасно решавање на структурни одзиви во кои доминираат нискофреквентни компоненти.

Се користат следните два параметри за временска интеграција.

Комбинацијата \(\beta = 1/4\) и \(\gamma = 1/2\) се нарекува метод на просечно забрзување и е стандарден избор што е безусловно стабилен и нема нумеричко пригушување. За воведување нумеричко пригушување, изберете \(\gamma\) поголемо од \(1/2\). За математички детали за комбинациите на параметри, стабилноста и карактеристиките на грешката, видете го теорискиот прирачник.

Кога е вклучена нелинеарност (геометриска нелинеарност, материјална нелинеарност или контакт), Newton итерација се изведува во секој временски чекор; линеарниот систем се решава во рамките на итерацијата и состојбата се ажурира. Критериумите за конвергенција ги користат CONVERG и поврзаните вредности заеднички со статичката анализа. Во динамичка анализа со контакт, истата итеративна структура како во Контактна итерација во статичка анализа се вклучува во секој временски чекор.

Временскиот чекор во динамичка анализа првенствено се контролира со временските услови од !STEP. Кај фиксни прирасти, !STEP го задава DTIME како временски чекор и ETIME како траење на чекорот. Вредностите n_step и t_delta од !DYNAMIC се третираат како зададени вредности кога !STEP е изоставен и заради повратна компатибилност. Во нелинеарниот имплицитен метод, !STEP со INC_TYPE=AUTO овозможува автоматски прирасти и cutback, зголемувајќи или намалувајќи го временскиот чекор според состојбата на Newton и контактните итерации. Без оглед дали се користат фиксни или автоматски прирасти, задајте го временскиот чекор имајќи ги предвид и конвергенцијата и потребната точност.

Временска интеграција во динамичка анализа (експлицитен метод)¶

Експлицитниот метод за динамичка анализа го користи методот на централни разлики за директно пресметување на состојбата во следното време само од информациите за поместување, брзина и забрзување во претходното време. Бидејќи не се решаваат системи на истовремени равенки, пресметковниот трошок по чекор е мал. Дури и кога е вклучена нелинеарност, секој временски чекор е едностепено ажурирање без Newton итерација.

Временскиот чекор има горна граница наметната од услов за стабилност заснован на минималниот сопствен период на системот (CFL услов). Временски чекор што ја надминува оваа граница предизвикува дивергенција на нумеричкото решение, па не може да се користат големи временски чекори како кај имплицитниот метод. Експлицитниот метод е поволен за појави како удар, ширење бранови и брз контакт, каде што малите временски чекори се суштински потребни.

Кога е вклучен контакт, методот на Lagrange со напреден прираст (Forward Increment Lagrange) се користи за наметнување на контактните ограничувања. Контактните сили се оценуваат на начин согласен со едностепеното ажурирање на експлицитниот метод.

Метод на решавање за анализа на фреквентен одзив¶

Анализата на фреквентен одзив директно го добива периодичниот стационарен одзив во фреквенцискиот домен со методот на модална суперпозиција. Таа го оценува одзивот додека се менува побудната фреквенција и нема потреба да следи временска историја преку итерации. Не се изведуваат ниту нелинеарни итерации ниту временска интеграција.

Пред да се изведе анализа на фреквентен одзив, мора да се изврши модална анализа за истиот систем и да се извлече потребниот број сопствени модови. Поддржани се само линеарни модели; анализата не може да се изврши кога е овозможена геометриска или материјална нелинеарност. За позиционирањето на овој тип анализа, видете Типови анализа.

Временско напредување и нелинеарна итерација во нестационарно спроведување на топлина¶

Нестационарното спроведување на топлина има сопствена временска јамка што се извршува во рамките на !HEAT. Временскиот чекор се контролира преку патека одделна од !STEP и !AUTOINC_PARAM за структурна анализа, а кога својствата на материјалот зависат од температурата, во секој временски чекор се изведува нелинеарна итерација.

Шемата за временска интеграција се избира со параметарот \(\beta\) на !HEAT.

Временскиот чекор се контролира адаптивно со комбинирање на почетниот временски чекор, минималниот временски чекор и максималната температурна промена по чекор. Ако температурната промена го надмине DELTMX по пресметката на еден временски чекор, временскиот чекор се намалува и чекорот повторно се пресметува. Анализата се прекинува ако временскиот чекор падне под минималниот временски чекор DTMIN.

Кога својствата на материјалот зависат од температурата, во секој временски чекор се изведува нелинеарна итерација. Итерацијата се контролира на следниот начин.

Стационарното спроведување на топлина не користи временско чекорење; се изведува само нелинеарна итерација кога својствата на материјалот зависат од температурата. Бидејќи временската контрола за анализата на спроведување на топлина е независна од !STEP за структурна анализа, проверете ги поставките на !HEAT кога го приспособувате временскиот чекор.

Поврзани теми¶

• Типови анализа — Позиционирање на секој тип анализа.
• Контакт и вградување — Избор на типови контакт, дефиниции на парови и алгоритми за решавање.
• Решавач и предусловување — Решавање на линеарните системи на равенки што се повикуваат во Newton итерацијата.
• Контрола на чекори — Надворешна контрола на чекори/подчекори и автоматски прирасти/cutback.
• Newton-Raphson метод (теорија) — Формулација на итеративниот метод за решавање.
• Критериуми за конвергенција (теорија) — Математички дефиниции на показателите за конвергенција.
• Методи за динамичка анализа (теорија) — Формулација на Newmark-β и методите на централни разлики.
• Нестационарна анализа на спроведување на топлина (теорија) — Формулација на временската интеграција за спроведување на топлина.
• Контактна анализа (теорија) — Формулација на методот на Лагранжов множители.
• Референца за клучни зборови: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.