Прескокнете до содржината

Линеарна еластична статичка анализа (вовед)

Овде е прикажана формулацијата на еластична статичка анализа заснована на теоријата на мали деформации. За врската напрегање–деформација се претпоставува линеарна еластичност. Ова поглавје служи како вовед за разбирање на целокупната структура на структурната анализа со методот на конечни елементи и е организирано како самостојна целина.

За општата теорија на принципот на виртуелна работа (тековна конфигурација, почетна конфигурација и сведување на мали деформации) видете Принцип на виртуелна работа; за детали за линеарно-еластичниот конститутивен закон видете Линеарна еластичност; за конвенциите на тензорска и Voigt-нотација видете Тензорска нотација и математички основи; за општата формулација на конечни деформации видете Движење, деформација и деформациска мерка; а за методите за решавање нелинеарни проблеми видете Тангентна матрица на крутост.

Основни равенки

При претпоставки за мали деформации и линеарна еластичност, граничниот проблем во механиката на цврсти тела се состои од равенка на рамнотежа, механички гранични услови и геометриски (основни) гранични услови (видете Слика 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{во} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{на} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{на} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Овде, \(\boldsymbol{\sigma}\) е Cauchy-напрегање, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) е волуменска сила по единица волумен, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) е зададена површинска сила, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) е зададено поместување, а \(S_t, S_u\) се механичката и геометриската граница.

Граничен проблем во механиката на цврсти тела (проблем со мали деформации)

Слика 2.1.1 Граничен проблем во механиката на цврсти тела (проблем со мали деформации)

Врската деформација–поместување, со употреба на операторот на симетричен градиент, е

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Линеарно-еластичната конститутивна равенка е

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

каде што \(\boldsymbol{C}\) е тензор на еластичност од четврти ред.

Принцип на виртуелна работа

Општите форми на принципот на виртуелна работа (запис во тековна конфигурација, запис во почетна конфигурација и сведување на мали деформации) се сумирани во Принцип на виртуелна работа. При претпоставки за мали деформации и линеарна еластичност, слабата форма е

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{на} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Со замена на конститутивната равенка \eqref{eq:2.1.5} и со запис \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) во Voigt-нотација, се добива обликот што директно се користи за дискретизација:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

каде што \(D\) е матрицата на еластичност дефинирана во Линеарна еластичност. Равенките \eqref{eq:2.1.10} и \eqref{eq:2.1.7} го сочинуваат принципот на виртуелна работа што се дискретизира подолу.

Дискретизација и составување на глобалната равенка

Со дискретизација на равенката за принципот на виртуелна работа \( \eqref{eq:2.1.10} \) по конечни елементи се добива

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

За секој елемент, полето на поместување се интерполира со поместувањата на јазлите што го сочинуваат елементот, како што следува.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Тогаш деформацијата, со употреба на равенката \(\eqref{eq:2.1.4}\), се задава како

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Со замена на равенките \(\eqref{eq:2.1.12}\) и \(\eqref{eq:2.1.13}\) во равенката \(\eqref{eq:2.1.11}\) се добива

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Равенката \(\eqref{eq:2.1.14}\) може да се запише како

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Овде, компонентите на матрицата и векторот дефинирани со равенките \(\eqref{eq:2.1.16}\) и \(\eqref{eq:2.1.17}\) може да се пресметаат за секој конечен елемент и да се состават со суперпозиција.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Бидејќи равенката \(\eqref{eq:2.1.15}\) важи за произволно виртуелно поместување \(\delta \boldsymbol{U}\), се добива

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Од друга страна, граничниот услов за поместување од равенката \(\eqref{eq:2.1.3}\) се изразува како

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Со решавање на равенката \(\eqref{eq:2.1.18}\) под ограничувањето од равенката \(\eqref{eq:2.1.19}\), може да се определат јазолните поместувања \(\boldsymbol{U}\).

Поврзани теми