Прескокнете до содржината

Линеарна еластичност

Ова поглавје го опфаќа конститутивниот закон (Хуковиот закон) за линеарно еластични материјали. За детали за изборот на модел и влезните спецификации, видете го делот за функции 03_material.

Појава (линеарно еластичен одзив)

Линеарно еластично тело е материјал кој, во опсег во кој деформацијата под оптоварување е доволно мала, покажува линеарна зависност меѓу напрегањето и деформацијата и реверзибилен одзив независен од историјата, при што по растоварување целата деформација се враќа во првобитната состојба. За разлика од пластичноста или ползењето, тој нема внатрешни променливи што ја претставуваат состојбата (како пластична или вискозна деформација), а напрегањето е еднозначно определено само од тековната деформација.

Во подрачјето на мали деформации се користат Кошиевото напрегање \(\boldsymbol{\sigma}\) и инфинитезималната деформација \(\boldsymbol{\varepsilon}\); во подрачјето на конечни деформации (проблеми што вклучуваат големи ротации, но кај кои самата деформација е мала) се користат второто Пиола-Кирхофово напрегање \(\boldsymbol{S}\) и Грин-Лагранжовата деформација \(\boldsymbol{E}\) (материјал St.Venant-Kirchhoff).

Конститутивен закон

Изотропен линеарно еластичен материјал

Во подрачјето на мали деформации, изотропниот Хуков закон се изразува со Ламеовите константи \(\lambda, \mu\) како

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Во компонентна форма,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

а двојната контракција со деформацијата дава \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Ламеовите константи се поврзани со Јунговиот модул \(E\) и Поасоновиот коефициент \(\nu\) на следниов начин:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Во Војтовата нотација, зависноста меѓу векторот на деформација \(\hat{\varepsilon}\) и векторот на напрегање \(\hat{\sigma}\) се запишува како \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), а тридимензионалната материјална матрица \(D\) е

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Оваа матрична претстава се користи во имплементацијата.

Ортотропен линеарно еластичен материјал

За материјали чии еластични константи се разликуваат според насоката на главните оски, се користи ортотропен модел со девет независни константи: Јунговите модули во насоките на главните оски \(E_1, E_2, E_3\), Поасоновите коефициенти меѓу главните оски \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) и модулите на смолкнување \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). За експлицитната форма на матрицата \(D\), видете ги стандардните референци.

Подрачје на конечни деформации: материјал St.Venant-Kirchhoff

За проблеми што вклучуваат големи ротации, но кај кои самата деформација е мала, материјалот St.Venant-Kirchhoff се користи како линеарно еластичен закон што ги поврзува второто Пиола-Кирхофово напрегање \(\boldsymbol{S}\) и Грин-Лагранжовата деформација \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Дефинициите на Ламеовите константи \(\lambda, \mu\) се исти како во случајот на мали деформации. Сепак, бидејќи дефинициите на парот напрегање–деформација се различни, ова е поинаков конститутивен закон од Хуковиот закон за мали деформации.

Хипоеластичен материјал

Во методот на ажуриран Лагранж се користи хипоеластичен материјал што го применува линеарно еластичниот закон меѓу Јаумановата стапка на релативниот Кирхофов тензор на напрегање \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) и тензорот на брзина на деформација \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

И тука дефиницијата на \(\boldsymbol{C}\) преку Ламеовите константи е иста како погоре, но бидејќи парот напрегање–деформација се разликува, ова е поинаков конститутивен закон. За детали за ажурирањето на \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) преку постапката за временска интеграција (Ејлерова интеграција нанапред и апроксимација со централна разлика), видете tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Редукција за дводимензионална анализа и школкасти елементи

Рамнинско напрегање (\(\sigma_{33} = 0\))

За рамнинско напрегање, што претставува оптоварување на тенки плочи и школки, се претпоставува \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) и се користи \(D\) во која компонентата на деформација надвор од рамнината \(\varepsilon_{33}\) е алгебарски елиминирана:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Рамнинска деформација (\(\varepsilon_{33} = 0\))

За рамнинска деформација, што го претставува напречниот пресек на долга конструкција ограничена во насоката на дебелината, се претпоставува \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Оскосиметрично

Во оскосиметрична анализа, која обработува проблеми што се еднообразни во насоката \(\theta\) во цилиндрични координати \((r, \theta, z)\), се задржуваат четирите компоненти \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) и \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), и

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

се добива.

Школкасти елементи (рамнинско напрегање + попречно смолкнување)

За школкасти елементи, напрегањето во рамнината се третира како рамнинско напрегање, а за компонентите на попречна смолкнувачка деформација \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) се користи \(\kappa\, G\) со корекциски фактор на смолкнување \(\kappa\) (обично \(\kappa = 5/6\)). За деталната формулација на секој елемент, видете Напредни формулации на елементи. Наводот во делот за функции 03_material дека „школкастите елементи поддржуваат само линеарна еластичност“ се заснова на ова поедноставување, при кое состојбата во рамнината се третира како рамнинско напрегање.

Температурна зависност

Јунговиот модул \(E\), Поасоновиот коефициент \(\nu\) и коефициентот на линеарно ширење \(\alpha\) генерално се задаваат како функции од температурата \(T\). Во FrontISTR, вредностите се внесуваат за конечна низа температурни точки \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), а температурата \(T\) при пресметката се оценува со линеарна интерполација меѓу соседните точки. За температури надвор од опсегот (\(T < T_1\) или \(T > T_n\)), за екстраполација се користи вредноста на најблиската крајна точка, \(T_1\) или \(T_n\) (константна екстраполација).

За температурната зависност на топлинските својства и својствата на топлинска спроводливост (густина, специфичен топлински капацитет и топлинска спроводливост), видете Топлински својства. Правилата за интерполација се заеднички за овие својства.

Поврзани теми