Прескокнете до содржината

Еластопластичност

Во ова поглавје се опишува рамката на еластопластичниот конститутивен закон што го применува FrontISTR. За детали за изборот и задавањето на влезните податоци, видете 03_material во делот за функции.

Појава (пластична деформација)

Ќе се дополни (ќе биде разработено во следната фаза).

Рамка на конститутивниот закон

FrontISTR применува еластопластична конститутивна равенка заснована на асоцирано правило на течење. Оваа конститутивна равенка ја изразува врската меѓу Jaumann брзината на Kirchhoff напрегањето и тензорот на брзина на деформација, а анализата на деформациите ја применува формулацијата updated Lagrange.

Да претпоставиме дека условот на течење на еластопластичен материјал е зададен на следниот начин.

Почетен услов на течење:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Последователен услов на течење:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

каде што,

  • \(F\): функција на течење
  • \(\sigma_{y_0}\): почетно напрегање на течење
  • \(\sigma_y\): последователно напрегање на течење
  • \(\sigma\): тензор на напрегање
  • \(e\): тензор на мала деформација
  • \(e^p\): тензор на пластична деформација
  • \(\overline{e}^p\): еквивалентна пластична деформација

Се претпоставува дека односот напрегање на течење–еквивалентна пластична деформација се совпаѓа со односот напрегање–пластична деформација во едноосна состојба.

Однос напрегање–пластична деформација во едноосна состојба

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

каде што \(H'\) е модулот на деформациско стврднување.

Однос еквивалентно напрегање–еквивалентна пластична деформација

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Општо, последователната функција на течење е функција од температурата и работата на пластичната деформација, но тука, заради поедноставување, се претпоставува дека е функција само од еквивалентната пластична деформација \(\overline{e}^p\). За време на развојот на пластичната деформација мора постојано да важи \(F = 0\), па затоа мора да биде исполнета следната равенка.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Овде \(\dot{F}\) го означува временскиот извод на \(F\). Во продолжение, временскиот извод на некоја величина \(A\) се означува со \(\dot{A}\).

Да претпоставиме дека постои пластичен потенцијал \(\Theta\) и дека брзината на пластичната деформација се изразува со следната равенка.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Овде \(\dot{\lambda}\) е коефициент.

Дополнително, ако се претпостави дека пластичниот потенцијал \(\Theta\) е еднаков на функцијата на течење \(F\), се применува следното асоцирано правило на течење.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Со замена на оваа равенка во условот на конзистентност се добива следната равенка.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Овде \(D\) е матрица на еластичност, а

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Еластопластичниот однос напрегање–деформација може да се запише на следниот начин.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Кога е позната функцијата на течење \(F\) на еластопластичниот материјал, од овој израз се добива неговата конститутивна равенка.

Функции на течење

Подолу се наведени еластопластичните функции на течење што ги применува FrontISTR.

Функција на течење Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Овде \(J_2\) е вториот инваријант на девијаторниот тензор на напрегање.

Функција на течење Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Овде \(\sigma_1, \sigma_3\) се максималното и минималното главно напрегање, \(c\) е кохезијата, а \(\phi\) е аголот на внатрешно триење.

Функција на течење Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Овде материјалните константи \(\alpha\) и \(\sigma_y\) се пресметуваат од кохезијата и аголот на триење на материјалот на следниот начин.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Поврзани теми