Прескокнете до содржината

Ползење

Ова поглавје го опишува конститутивниот закон за ползење применет во FrontISTR. За детали за изборот и влезните спецификации, видете го делот за функции 03_material.

Појава на ползење и адитивна декомпозиција на деформацијата

Временски зависното поместување при услов на константно напрегање е појава наречена „ползење“.

Вискоеластичното однесување опишано погоре исто така може да се смета за вид линеарно ползење. Тука се опишуваат неколку нелинеарни однесувања на ползење. Вообичаен пристап е конститутивната релација да се формулира со додавање на ова однесување на деформацијата што настанува моментално, а деформацијата што се акумулира додека продолжува дадено константно оптоварување да се дефинира како деформација од ползење \(\varepsilon^c\). Конститутивната релација што вклучува ползење обично се изразува со брзината на деформација од ползење \(\dot{\varepsilon}^c\), дефинирана како функција од напрегањето и вкупната деформација од ползење.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Ако деформацијата што настанува моментално е еластичната деформација \(\varepsilon^e\), вкупната деформација се изразува како следниот збир што ја вклучува деформацијата од ползење.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

каде што

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) е тензорот на еластичност).

Нортонов закон

Како конкретен конститутивен закон за ползење, FrontISTR го применува следниот Нортонов модел. Во оваа конститутивна релација, еквивалентната брзина на деформација од ползење \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) се изразува како функција од фон Мизесовото напрегање \(q\) и времето \(t\) на следниов начин.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Тука \(A\), \(m\) и \(n\) се материјални константи.

Временска интеграција и ажурирање на напрегањето

Како и кај пластичните материјали, за конститутивен закон што покажува ползење мора да се зададе нумерички метод за временска интеграција. Конститутивната релација кога се зема предвид ползењето е

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

каде што \(\beta_{n+\theta}\) е

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Прирастот на деформацијата од ползење \(\Delta \varepsilon^c\) потоа се дефинира со следната поедноставена нелинеарна равенка:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

која се поставува еднаква на нула.

Во итерацијата на Њутн-Рафсон, ако се земе \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) како почетно напрегање и се користи прирастот на деформацијата добиен со методот на конечни елементи, итеративното решение и прирастот се дадени со

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

каде што

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

при што Кога итерацијата продолжува сè додека резидуалот \(R\) не стане \(\mathbf{0}\), се користат напрегањето \(\sigma_{n+1}\) и тангентниот модул

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

.

Поврзани теми