Прескокнете до содржината

Функции на облик и апроксимација со конечни елементи

За нумеричка обработка на слабата форма на принципот на виртуелна работа, доменот на телото се дели на конечен број елементи, а координатите на материјалните точки, поместувањето и тест-функцијата во секој елемент се интерполираат од вредностите во јазлите и функциите на облик. Просторните изводи на функциите на облик се опфатени во Просторни изводи на функциите на облик, дискретизацијата на слабата форма во Дискретизација на внатрешната виртуелна работа, а конкретните форми на функциите на облик за секој тип елемент во Систем за нумерирање на елементи и библиотека на функции на облик и следните делови.

Поделба на доменот и суми на интеграли по елементи

Доменот \(\Omega_0\) во референтната конфигурација и доменот \(\Omega\) во тековната конфигурација се апроксимираат со униите на елементите \(\Omega^e_0\) и \(\Omega^e\), соодветно:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) е бројот на елементот, а границите на елементите ги делат соседните елементи.) Така, волуменските и површинските интеграли во принципот на виртуелна работа се разложуваат на суми од интеграли над поединечните елементи:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Истото важи за тековната конфигурација со замена \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) и \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Оттука, вреднувањето на слабата форма се сведува на конструирање интеграли по елементи.

Интерполација со јазолни вредности и функции на облик (изопараметарски елементи)

На секој елемент \(\Omega^e_0\) му се доделуваат \(n_e\) јазли. Нека координатите во референтната конфигурација и јазолните поместувања на јазолот \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) на елементот се \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Јазолните вектори на елементот \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) и \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) се формираат со подредување на овие вредности; за елементот \(e\) тие ги содржат само компонентите на јазлите што го сочинуваат елементот, извлечени од глобалните јазолни вектори \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) е вкупниот број јазли).

Користејќи ги природните координати \(\boldsymbol{r}\), локални координати во елементот, како параметри, функциите на облик \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ги интерполираат материјалните координати, поместувањето и тест-функцијата во елементот со истите функции на облик (изопараметарски елемент и Galerkin-ов метод):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Функциите на облик се конструираат да ги задоволуваат следниве две својства, а геометријата на елементот се избира така што пресликувањето \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) од природни во материјални координати да биде еднозначно во елементот:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) е точката во природни координати што одговара на јазолот \(\alpha\), а \(\delta_{\alpha\beta}\) е Kronecker-ова делта.) Првата равенка гарантира репродукција на транслација на круто тело, а втората гарантира дека интерполираната вредност се совпаѓа со јазолната вредност во секој јазол. Конкретните облици на \(n_e\) и \(N_\alpha^e\) за секој тип елемент се дадени во Систем за нумерирање на елементи и библиотека на функции на облик и следните делови. За да се избегне сложена нотација, зависноста од типот елемент се претставува со горниот индекс \(e\) за секој елемент.

Со горните правила за интерполација, интеграндот на слабата форма може да се изрази само преку јазолните вредности на елементот \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) и \(N_\alpha^e\). Деформацијата, пак, се изведува од интерполираното поместување и врската деформација-поместување, а напрегањето од таа деформација и конститутивниот закон на материјалот; овие величини не се интерполираат директно од јазолните вредности. Тие се вреднуваат во интеграциски точки во елементот (Нумеричка интеграција).

Правило за подредување на глобалните јазолни вектори

Физичките величини доделени на јазлите се подредуваат во глобалниот јазолен вектор во растечки редослед број на јазол → степен на слобода. Ако во јазолот \(\alpha\) компонентата на степен на слобода \(i\) е означена со \(u_{i\alpha}\), тогаш во три димензии (\(i=1,2,3\)) и две димензии (\(i=1,2\)), соодветно,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Координатите \(\boldsymbol{X}^n\) и тест-функцијата \(\delta\boldsymbol{u}^n\) го следат истиот редослед. Во продолжение, изведувањата во матричен и векторски облик се запишуваат со тридимензионалниот случај како претставник.

Поврзани теми