Прескокнете до содржината

Просторни изводи на функциите на облик

Функциите на облик \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), воведени во Функции на облик и апроксимација со конечни елементи, се задаваат како функции од природните координати \(\boldsymbol{r}\), кои се локални координати на елементот. Од друга страна, во интеграндот на слабата форма преку врската деформација–поместување се појавуваат парцијалните изводи по физичките координати (референтната конфигурација \(\boldsymbol{X}\) или тековната конфигурација \(\boldsymbol{x}\)), \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) или \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Во ова поглавје се систематизира постапката за пресметување на овие просторни изводи на функциите на облик од координатите на јазлите на елементот и изводите по природните координати.

Изразување на просторниот извод со верижното правило

Ако верижното правило се примени на интерполацискиот израз \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (претходното поглавје), со Јакобиевата матрица \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) на пресликувањето од природните во физичките координати се добива

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Овде \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) и \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) се матрици \(n_e \times 3\) во кои редот \(\alpha\) го претставува векторот на парцијални изводи за јазолот \(\alpha\).

Формирање на Јакобиевата матрица

Со парцијално диференцирање на интерполацискиот израз по \(\boldsymbol{r}\) се добива

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

па Јакобиевата матрица може директно да се формира од координатите на јазлите на елементот \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) и изводите по природните координати \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Изводите по природните координати се определуваат од функционалната форма на функциите на облик и однапред се имплементирани за секој тип елемент.

Детерминантата на Јакобиевата матрица \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) се користи во нумеричката интеграција за трансформација на волуменскиот елемент \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Ако детерминантата стане \(0\), елементот е дегенериран и пресметката не може да продолжи.

Тек на пресметката

Од претходното изведување, пресметувањето на просторниот извод \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) може да се подели на следните четири чекори.

  1. Пресметување на изводите по природните координати: Од типот на елементот и природните координати \(\boldsymbol{r}\) на точката на оценување се пресметува матрицата на изводи по природните координати \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Бидејќи функционалната форма на функциите на облик се разликува според типот на елементот, постапката се разгранува според типот на елементот.
  2. Пресметување на Јакобиевата матрица: Од координатите на јазлите на елементот \(\boldsymbol{X}^e\) и \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), според равенката од претходниот дел, се составува Јакобиевата матрица \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\).
  3. Пресметување на инверзната матрица и детерминантата: Се пресметуваат инверзната Јакобиева матрица \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) и нејзината детерминанта. Детерминантата се користи во тежините на нумеричката интеграција.
  4. Пресметување на просторниот извод: Просторниот извод \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) се добива како производ на \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) и \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).

Овие четири чекори се разгрануваат според типот на елементот и просторната димензија (2D или 3D), но целокупниот тек е заеднички.

Заедничка постапка за референтната и тековната конфигурација

Истата постапка може да се примени и за просторниот извод во тековната конфигурација \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\), само со замена на \(\boldsymbol{X}^e\) со координатите на јазлите во тековната конфигурација \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Затоа, кај методите Total Lagrange и Updated Lagrange може да се користи истата постапка само со менување на влезните координати на јазлите.

Поврзани теми