Прескокнете до содржината

Дискретизација на внатрешната виртуелна работа

Равенката на виртуелна работа во времето \(t + \Delta t\), прикажана во Рамка за инкрементална анализа, има две форми — Updated Lagrange и Total Lagrange — зависно од изборот на референтната конфигурација. Во ова поглавје, апроксимацијата со конечни елементи воведена во Облик-функции и апроксимација со конечни елементи и Просторни изводи на облик-функциите се користи за просторна дискретизација на внатрешната виртуелна работа на двете формулации и за добивање на векторите на внатрешни сили на елементот \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) и \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

За елементот \(e\), нека составните јазли бидат \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); нека поместувањата се \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), а векторот на јазолни поместувања на елементот нека биде подреден како \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Виртуелното поместување \(\delta \boldsymbol{u}^e\) се дефинира по истиот редослед. Поместувањето во елементот се интерполира со облик-функциите како \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Внатрешна виртуелна работа во формулацијата Updated Lagrange

Во формулацијата Updated Lagrange, во времето \(t\) тековната конфигурација \({}^{t}\Omega\) се користи како референтна конфигурација, а внатрешната виртуелна работа се запишува со Cauchy-евото напрегање \(\boldsymbol{\sigma}\) и линеарниот дел од Almansi-евата деформација \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) како

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Секоја компонента на \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) може, со координатите на тековната конфигурација \(\boldsymbol{x}\), да се изрази како линеарна комбинација на изводите на облик-функциите \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) и јазолните виртуелни поместувања \(\delta u^e_{i\alpha}\). Во Voigt-нотација, ова може да се собере како

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Јазолниот блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) се формира со распоредување на \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) според Voigt-конвенцијата во матрица \(6 \times 3\), а \(\boldsymbol{B}_L\) е матрицата деформација-поместување за UL-формулацијата. Со замена во внатрешната виртуелна работа и издвојување на \(\delta \boldsymbol{u}^e\) се добива

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

За \(\boldsymbol{q}^e\), јазолниот блок \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) е внатрешната сила на елементот \(\Omega^e\) што дејствува на составниот јазол \(\alpha\).

Внатрешна виртуелна работа во формулацијата Total Lagrange

Во формулацијата Total Lagrange, почетната конфигурација \(\Omega_0\) се користи како референтна конфигурација, а внатрешната виртуелна работа се запишува со второто Piola-Kirchhoff напрегање \(\boldsymbol{S}\) и Green-Lagrange деформацијата \(\boldsymbol{E}\) како

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Варијацијата \(\delta \boldsymbol{E}\) се разделува на член линеарен по виртуелното поместување и нелинеарен член што содржи производи со тековниот градиент на поместување \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Линеарниот член може да се запише со примена на истото правило за распоредување како во UL-формулацијата на \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), со што се добива јазолниот блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Поради различната референтна конфигурација, само составните изводи се менуваат од \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) во \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); се користи истиот симбол како во UL-формулацијата. Нелинеарниот член користи производи на тековниот градиент на поместување \(\partial u_k/\partial X_j\) и \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), распоредени според Voigt-конвенцијата за да се формира јазолниот блок \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Така, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), а \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) е матрицата деформација-поместување за TL-формулацијата. Со замена во внатрешната виртуелна работа се добива

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Јазолниот блок \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) е внатрешната сила на елементот \(\Omega^e_0\) што дејствува на составниот јазол \(\alpha\).

Соодветност меѓу UL/TL и пресметковниот тек

Векторите на внатрешни сили на елементот во формулациите Updated Lagrange и Total Lagrange одговараат како што следува.

Ставка Формулација Updated Lagrange Формулација Total Lagrange
Референтна конфигурација Тековна конфигурација \({}^{t}\Omega^e\) Почетна конфигурација \(\Omega^e_0\)
Тензор на напрегање Cauchy-ево напрегање \(\boldsymbol{\sigma}\) Второ PK-напрегање \(\boldsymbol{S}\)
Варијација на деформација \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-матрица \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Внатрешна сила на елемент \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

И двете се обработуваат со истата постапка: конструирање на \(\boldsymbol{B}_L\) од просторните изводи на облик-функциите; во TL-формулацијата, конструирање и додавање на \(\boldsymbol{B}_{NL}\) од тековниот градиент на поместување; ажурирање на напрегањето (\(\boldsymbol{\sigma}\) или \(\boldsymbol{S}\)) според конститутивниот закон; и нумеричка интеграција на \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) или \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) над доменот на елементот во точките на интеграција (Нумеричка интеграција). Освен префрлањето на референтната конфигурација (јазолни координати и конструкција на \(\boldsymbol{B}\)-матрицата) и замената на тензорот на напрегање, обработката е заедничка, па FrontISTR ги имплементира пресметките на внатрешните сили за двете формулации со заеднички потпрограми. Составувањето на векторите на внатрешни сили на елементот \(\boldsymbol{q}^e\) и \(\boldsymbol{Q}^e\) во глобалниот вектор на внатрешни сили е обработено во Надворешна виртуелна работа и составување на глобалните равенки.

Поврзани теми