Прескокнете до содржината

Виртуелна работа на надворешните сили и составување на глобалната равенка

Во Дискретизација на виртуелната работа на внатрешните сили, левата страна на слабата форма беше сведена на вектор на внатрешни сили на елементот \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) или \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL). Во ова поглавје од виртуелната работа на надворешните сили се воведува јазолниот вектор на надворешни сили на елементот \(\boldsymbol{F}^e\), а потоа преку операцијата составување (assembly), со која јазолните физички величини на елементите се прередуваат и собираат според глобалните броеви на јазли, се добива системот нелинеарни равенки по јазолните поместувања што го решава нелинеарната структурна анализа на FrontISTR.

Разложување на виртуелната работа на надворешните сили по елементи

Десната страна на Принципот на виртуелна работа може да се разложи по елементи како виртуелна работа на надворешните сили, составена од волуменска сила (телесна сила) и зададена површинска сила на механичката граница. За матричен запис на интерполацијата на поместувањето воведена во Функции на облик и апроксимација со конечни елементи, нека \(\boldsymbol{N}_\alpha\) е блок \(d \times d\) со функцијата на облик \(N_\alpha^e\) на јазолот \(\alpha\) по дијагоналата, а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) нивното хоризонтално подредување, така што \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Со замена во виртуелната работа на надворешните сили запишана во референтната конфигурација се добива

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

Овде јазолниот вектор на надворешни сили на елементот е подреден како \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Така виртуелната работа на надворешните сили се сведува на истиот облик „јазолен вектор на елемент × тест-функција“ како и кај внатрешните сили (во тековната конфигурација обликот останува ист со замените \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Составување на јазолните физички величини на елементите

Јазолните физички величини \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) добиени за секој елемент се собираат во глобални вектори прередени според глобалните броеви на јазли. Глобалниот број на јазолот што одговара на локалниот број \(\alpha\) во елементот \(\Omega^e\) се означува со

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Тогаш јазолната физичка величина на елементот е еднаква на соодветната компонента на глобалната јазолна величина (на пример, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Бидејќи јазолот \(i_g\) воопшто е споделен од повеќе елементи, се воведува множеството на сите парови \((e, \alpha)\) чиј глобален број на јазол е \(i_g\):

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Со него, ако сумата се пренапише како \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), јазолната внатрешна сила и глобалниот вектор на внатрешни сили за сите \(n_g\) јазли се

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) одговара на резултантата од јазолните внатрешни сили на елементите што дејствуваат на јазолот \(i_g\) и е \(\boldsymbol{0}\) кога нема надворешна сила и системот е во рамнотежа. И кај UL со истата постапка се добиваат \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\), а бидејќи по вредност важи \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), понатаму се користи единствената ознака \(\boldsymbol{Q}\) освен каде што е потребно разграничување. Глобалниот вектор на надворешни сили \(\boldsymbol{F}\) се добива со истото собирање.

Во имплементацијата множеството \(\mathcal{E}(i_g)\) не се создава експлицитно; наместо тоа, соодветните компоненти се акумулираат во циклусот по елементи.

Иницијализирај го глобалниот вектор на внатрешни сили Q на 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (број на елементи)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Глобалниот вектор на надворешни сили \(\boldsymbol{F}\) се составува со истата постапка. Операцијата со која јазолните физички величини на елементите се додаваат и се складираат во вектори и матрици нумерирани со глобални броеви на јазли се нарекува составување (assembly). За тензор од втор ред со два јазолни индекси (на пример матрица на крутост), аналогната операција се дефинира со множеството \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (за конкретната конструкција видете Тангентна матрица на крутост).

Нелинеарна равенка што треба да се реши

Со замена на составените внатрешни и надворешни сили во Принципот на виртуелна работа, и бидејќи равенката важи за произволна тест-функција \(\delta\boldsymbol{u}^n\) што ги задоволува геометриските гранични услови, се добива

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Во контекст на инкрементална анализа (Рамка на инкрементална анализа), ако повторно се воведе временскиот индекс \(_{n+1}\) и се изостави горниот индекс \(^n\) што означува глобален јазолен вектор, равенката што треба да се реши е

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Дискретизираниот граничен проблем за определување на јазолното поместување \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) во времето \(t_{n+1}\) се сведува на решавање на оваа нелинеарна равенка по поместувањето заедно со геометриските гранични услови. За линеаризацијата на равенката и конструкцијата на тангентната матрица на крутост видете Тангентна матрица на крутост, а за итеративниот метод Метод Newton-Raphson.

Поврзани теми