Прескокнете до содржината

Нумеричка интеграција

Векторите на внатрешни сили на елементот \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) и матрицата на крутост на елементот \(\boldsymbol{K}^e\), добиени во Дискретизација на внатрешната виртуелна работа и Надворешна виртуелна работа и составување на глобалната равенка, имаат облик на интеграли над доменот на елементот \(\Omega^e\) или \(\Omega^e_0\). FrontISTR ги пресметува нумерички со Gauss-ова квадратура.

Gauss-ова квадратура и промена на променливи

Gauss-овата квадратура го апроксимира интегралот над референтниот домен \(\Xi\) со линеарна комбинација од вредностите на интеграндот во интеграциските точки \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) и тежините \(w_i\). При примената на доменот на елементот \(\Omega^e\), се врши промена на променливите преку пресликувањето \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), па се добива

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

каде \(n_q\) е бројот на интеграциски точки, а \(J_{\xi_i}\) е детерминантата на Јакобијанот на трансформацијата. Референтниот домен \(\Xi\) е дефиниран за секој тип елемент (за хексаедар, \([-1,1]^3\); за триаголници, тетраедри и клинови, соодветните референтни форми), а интеграциските точки \(\boldsymbol{\xi}_i\) и тежините \(w_i\) се дадени како нумерички табели. Површинските интеграли се обработуваат во ист облик преку пресликување на лице на елемент од дводимензионален референтен домен.

Подолу се прикажани репрезентативни броеви на интеграциски точки што ги користи FrontISTR (за соодветноста со типовите елементи, видете Шема за нумерирање на елементи и библиотека на функции на облик).

Тип на елемент Правило за квадратура Број на интеграциски точки
4-јазолен тетраедар (tet4n) правило со 1 точка 1
10-јазолен тетраедар (tet10n) правило со 4 точки 4
6-јазолна триаголна призма (prism6n) правило со 2 точки 2
15-јазолна триаголна призма (prism15n) правило со 9 точки 9
8-јазолен хексаедар (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20-јазолен хексаедар (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4-јазолен четириаголник (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8-јазолен четириаголник (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3-јазолен триаголник (tri3n) правило со 1 точка 1
6-јазолен триаголник (tri6n) правило со 3 точки 3

За хексаедарски, четириаголни и линиски елементи се користат тензорски производи на правилото Gauss-Legendre во секоја координатна насока. Триаголниците, тетраедрите и триаголните призми користат посебни правила приспособени на геометрии од симплексен тип (распореди на точки што точно интегрираат полиноми над самиот триаголник).

Примена на интеграцијата на елементи

При интеграцијата на елементите, природните координати \(\boldsymbol{r}\) се користат како координати на референтниот домен (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), а пресликувањето во физички координати се задава со интерполација на координатите на јазлите со функциите на облик. Во зависност од изборот на референтната конфигурација (Рамка на инкременталната анализа), се користат следниве формулации.

Total Lagrange метод (интеграција над референтната конфигурација \(\Omega^e_0\)): пресликувањето и Јакобијанот се

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

а внатрешната сила и матрицата на крутост на елементот се апроксимираат како

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Сите \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) се вреднуваат во интеграциската точка \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrange метод (интеграција над тековната конфигурација \(\Omega^e\)): пресликувањето и Јакобијанот се

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

и како апроксимации се користат

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

.

Единствената разлика меѓу двете формулации е дали координатите на јазлите доставени на пресликувањето се \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) или \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); интеграциските точки, тежините и структурата на циклусот по интеграциски точки се заеднички.

Целосна интеграција и редуцирана интеграција

Интеграцијата со доволен број интеграциски точки за точно интегрирање на полиномскиот степен на интеграндот се нарекува целосна интеграција, додека интеграцијата со едно ниво помалку интеграциски точки се нарекува редуцирана интеграција. Редуцираната интеграција се користи за ублажување на заклучувањето при смолкнување и волуменското заклучување, но бара третман на паразитски модови на деформација, како што се модовите на песочен часовник. Бројот на интеграциски точки за секој тип елемент и изборот меѓу целосна и редуцирана интеграција се опфатени во Шема за нумерирање на елементи и библиотека на функции на облик и следните делови, како и во Напредни формулации на елементи.

Поврзани теми