Прескокнете до содржината

Функции на облик за 3D цврсти елементи

Ова поглавје ги резимира природните координатни системи и експлицитните облици на функциите на облик \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) воведени во Функции на облик и апроксимација со конечни елементи за тридимензионалните цврсти елементи што FrontISTR ги користи во анализа на континуум. Шесте типови елементи се тетраедри од прв/втор ред (341/342), триаголни призми од прв/втор ред (351/352) и хексаедри од прв/втор ред (361/362). За редоследот на јазлите и броевите на лицата во форматот на мрежа HEC-MW, видете Библиотека на елементи во референцата за функции.

Постапката за конструирање на интеграцијата на елементот од овие функции на облик и детерминантата на Jacobian-от ја следи Нумеричка интеграција. B-bar, F-bar и некомпатибилните формулации за 361, како и функциите на облик за гредни и школкасти елементи, се опфатени во Напредни формулации на елементи.

Природни координатни системи и внатрешен редослед на јазлите

Функциите на облик се дефинирани во природните координати \(\boldsymbol{r}\) на секој елемент. Тридимензионалните цврсти елементи ги користат следниве три природни координатни системи според обликот на елементот.

  • Хексаедри (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Тетраедри (341/342): волуменски координати \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), со \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) и \(L_i \ge 0\). Ако \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) се земат како независни променливи, тогаш \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Триаголни призми (351/352): волуменските координати \((\xi, \eta)\) на основниот триаголник (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) се комбинираат со аксијалната координата \(\zeta \in [-1, 1]\) за да се формира \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Помошната величина \(a = 1 - \xi - \eta\) се користи како трета волуменска координата на основата.

Кај елементите од прв ред, нумерирањето на јазлите на елементот е исто во влезниот формат HEC-MW и во внатрешниот формат. Кај елементите од втор ред, конвенциите за редоследот на средишните јазли на рабовите се разликуваат. FrontISTR го прифаќа форматот HEC-MW како влез (најпрво се наведуваат аголните јазли околу елементот, а потоа средишните јазли на рабовите по редослед на рабовите 1-2, 2-3, …), додека функциите на облик во библиотеката на елементи се имплементирани со поинаков редослед на јазлите.

Разликата меѓу двата формата ја разрешува hecmw2fstr_mesh_conv, повикан веднаш по внесот на мрежата, кој ги прередува јазлите на секој елемент. Меѓу тридимензионалните цврсти елементи се преобразуваат следниве два типа.

Тип на елемент Табела за преобразување Опис
342 (тетраедар од втор ред) Table342 Ги прередува 10-те јазли во \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (триаголна призма од втор ред) Table352 Ги прередува 15-те јазли во \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Бидејќи прередувањето се врши директно врз низата што ја чува поврзаноста на елементот, сите последователни повици кон библиотеката на елементи го користат внатрешниот редослед на јазлите на FrontISTR. За хексаедарскиот елемент 362 од втор ред нема табела за преобразување, бидејќи редоследот на средишните јазли во влезот HEC-MW и во внатрешниот формат на FrontISTR е ист. При излез на резултатите, обратното преобразување fstr2hecmw_mesh_conv го враќа редоследот на јазлите HEC-MW пред запишување, така што корисниците треба да го познаваат само форматот HEC-MW и за влез и за излез. Броевите на јазлите во функциите на облик подолу го користат преобразениот внатрешен формат на FrontISTR.

Функции на облик за елементи од прв ред

За тетраедарскиот елемент од прв ред (341), функциите на облик се самите волуменски координати:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

За триаголно-призматичниот елемент од прв ред (351), функциите на облик се производи од линеарните функции на облик на основниот триаголник (\(a, \xi, \eta\)) и линеарните аксијални функции на облик (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

За хексаедарскиот елемент од прв ред (361), функциите на облик се тензорски производи од линеарните функции на облик во трите координатни насоки:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Тука \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) се вредностите на природните координати на јазолот \(\alpha\) (секоја компонента е \(\pm 1\)).

Функции на облик за елементи од втор ред

За тетраедарскиот елемент од втор ред (342), функциите на облик се делат на четири аголни и шест средишни јазли на рабовите:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Средишните јазли 5–10 соодветствуваат на средините на рабовите 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 и 3-4.

Триаголно-призматичниот елемент од втор ред (352) се состои од шест аголни јазли, шест средишни јазли на триаголните лица и три средишни јазли на аксијалните рабови:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Средишните јазли 7–9 соодветствуваат на средините на рабовите на долниот триаголник (\(\zeta = -1\)), јазлите 10–12 на средините на рабовите на горниот триаголник (\(\zeta = +1\)), а јазлите 13–15 на средините на аксијалните рабови.

Хексаедарскиот елемент од втор ред (362) е 20-јазолен елемент од фамилијата Serendipity. Нека вредностите на природните координати на јазолот \(\alpha\) се \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). За аголните јазли (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), каде секоја компонента е \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

За средишните јазли на рабовите (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), каде една од трите природни координати е \(0\), а другите две се \(\pm 1\)), јазлите со \(\xi_\alpha = 0\) (рабови ориентирани во насока \(\xi\)) имаат

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Средишните јазли чии рабови се насочени по оската \(\eta\) или \(\zeta\) се задаваат аналогно, при што соодветната природна координата се елиминира со квадратниот член.

Поврзани теми