Прескокнете до содржината

Translation update pending

The Macedonian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Напредни формулации на елементи

Стандардната формулација заснована на поместување, прикажана во Формулација на 3D цврсти елементи, кај речиси некомпресибилни материјали или тенкоѕидни конструкции во кои доминира свиткување може да покаже прекумерна вештачка крутост позната како заклучување (волуменско или смолкнувачко заклучување). За да се избегне тоа, FrontISTR ги обезбедува методите B-bar и F-bar, кои го заменуваат само волуменскиот дел на B-матрицата или градиентот на деформација; некомпатибилни елементи со внатрешни степени на слобода; мешани u-p елементи што го третираат притисокот како независно непознато поле; и MITC школкасти и гредни елементи специјализирани за плочести и гредни конструкции.

Ова поглавје ги резимира формулациите на овие напредни и конструктивни елементи по тип на елемент.

B-bar метод

Кога за речиси некомпресибилен материјал се користи 8-јазолен линеарен хексаедарски елемент, полето на деформација во елементот може да биде во конфликт со условот за константен волумен и да предизвика прекумерна крутост позната како волуменско заклучување. B-bar методот го ублажува ова прекумерно ограничување така што компонентите на B-матрицата кои придонесуваат за волуменско ширење ги заменува со вредности пресметани во центарот на елементот [Hughes1980].

Во центарот на елементот \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), нека B-матрицата пресметана од просторните изводи на функциите на облик е \(\bar{\boldsymbol{B}}\); во интеграциската точка \(\boldsymbol{r}\), нека вообичаената B-матрица е \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Во врската поместување-деформација за јазол \(\alpha\) и степен на слобода \(i\), компонентите на волуменската деформација \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) се модифицираат со додавање

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

За смолкнувачките компоненти \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) се користи вообичаената \(\boldsymbol{B}\). Матрицата на крутост на елементот и векторот на внатрешни сили се составуваат со така добиената B-bar матрица.

FrontISTR ја обезбедува оваа формулација конкретно за 8-јазолниот линеарен хексаедарски елемент (ID на елемент 361; видете Систем за нумерирање на елементи), и таа може да се применува на формулации со мали деформации, Total Lagrange и Updated Lagrange.

F-bar метод

При конечни деформации, волуменската промена нелинеарно влегува преку градиентот на деформација \(\boldsymbol{F}\). F-bar методот [deSouzaNeto1996] применува третман на волуменското заклучување аналоген на B-bar методот, но на ниво на градиентот на деформација.

Нека односот на волумените на градиентот на деформација вреднуван во центарот на елементот \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) е \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), а односот на волумените во интеграциска точка е \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Градиентот на деформација во интеграциската точка се заменува со

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Оттука \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), па односот на волумените низ целиот елемент се усогласува со вредноста во центарот на елементот. Заменетиот \(\bar{\boldsymbol{F}}\) се користи за пресметка на напрегањето и за конструирање на матрицата деформација-поместување, а тангентната крутост на елементот ги вклучува и дополнителните членови поврзани со оваа замена.

FrontISTR го имплементира F-bar методот конкретно за 8-јазолниот линеарен хексаедарски елемент и тој може да се применува и за мали деформации и за нелинеарна геометрија со Total Lagrange / Updated Lagrange.

Некомпатибилни елементи

На 8-јазолниот линеарен хексаедарски елемент му недостасуваат модови на деформација потребни за свиткување, па кај проблеми во кои доминира свиткување се јавува заклучување при свиткување. Некомпатибилните елементи [Taylor1976] воведуваат дополнителни модови на поместување во елементот за да го надоместат овој недостаток.

Покрај јазолните поместувања на елементот \(\boldsymbol{u}^e\), се воведуваат степени на слобода на некомпатибилните модови \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), кои постојат само во елементот, како 3 насоки × 3 мода по елемент, а полето на поместување се апроксимира како

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

За природните координати \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), некомпатибилните функции на облик се земаат како \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) и \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Тие не гарантираат континуитет преку границите на елементите, но додаваат внатрешен простор способен да ги репродуцира деформациите поврзани со модовите на свиткување.

Матрицата на крутост на елементот најпрво се составува во блоковски облик со надворешни/внатрешни степени на слобода

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

По составувањето во овој облик, статичката кондензација ги елиминира внатрешните степени на слобода со \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), со што се добива матрицата на крутост на елементот само за надворешните степени на слобода

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

која се предава на глобалното составување.

FrontISTR го имплементира некомпатибилниот елемент конкретно за 8-јазолниот линеарен хексаедарски елемент (C3D8IC) и тој може да се применува на формулации со мали деформации, Total Lagrange и Updated Lagrange.

U-P мешани елементи

Додека методите B-bar и F-bar ја коригираат волуменската компонента во рамки на формулација заснована на поместување, мешаниот u-p (U-P) елемент користи мешана формулација [Bathe1996] која го воведува притисокот \(\lambda\) како непознато поле независно од поместувањето. Кај речиси некомпресибилни материјали, како гумени материјали со Poisson-ов коефициент многу близок до 0.5 или метали по пластична деформација, наметнувањето на условот за константен волумен само преку полето на поместување предизвикува волуменско заклучување; третирањето на притисокот како независна променлива го олабавува ова ограничување.

Напрегањето се раздвојува на девијаторна и притисочна компонента како

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Тука, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) е девијаторната еластична матрица добиена со отстранување од еластичната матрица на волуменскиот дел пропорционален на волуменскиот модул \(K\). Притисокот \(\lambda\) и волуменската деформација \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) се поврзани со условот преку компресибилноста \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Дискретизацијата со поместување \(\boldsymbol{u}\) и притисок \(\lambda\) како непознати го дава спрегнатиот систем на елементот

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

каде \(\mathbf{K}_{uu}\) го содржи девијаторниот еластичен придонес, а кај конечни деформации и геометриската крутост; \(\mathbf{K}_{up}\) ги спрегнува волуменската деформација и притисокот; а \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) е членот за стабилизација на притисокот (\(\boldsymbol{N}_p\) е функцијата на облик за притисокот). Бидејќи степените на слобода на притисокот се внатрешни за елементот,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

се врши статичка кондензација во овој облик, а ефективната крутост само за надворешните (поместувачки) степени на слобода се предава на глобалното составување.

FrontISTR го имплементира U-P елементот конкретно за 8-јазолниот линеарен хексаедарски елемент, со еден степен на слобода за притисок по елемент (константен во елементот). Може да се применува на формулации со мали деформации, Total Lagrange и Updated Lagrange. Во Updated Lagrange, девијаторното напрегање се ажурира со објективна стапка на напрегање (тип Jaumann/Hughes-Winget), а потоа притисокот \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) се наметнува со вредноста добиена со статичка кондензација.

Школкасти елементи

Школкастите елементи засновани на Reissner-Mindlin теоријата за плочи/школки се користат за тенкоѕидни плочести и школкасти конструкции. Како што дебелината се намалува, плочестите/школкастите елементи од низок ред засновани на поместување ја преценуваат попречната смолкнувачка деформација преку механизам аналоген на волуменското заклучување (смолкнувачко заклучување), поради што крутоста за модовите на свиткување прекумерно расте. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) методот [Dvorkin1984] [Bathe1986] го избегнува овој проблем со повторно земање примероци само на компонентите на смолкнувачката деформација во однапред дефинирани точки на врзување во елементот и со интерполација на тие вредности низ елементот.

Јазлите на MITC школкаст елемент лежат на средната површина и секој јазол има шест степени на слобода: три транслациски компоненти и три ротациски компоненти околу координатниот систем на нормалата на средната површина. Крутоста на елементот се пресметува со тридимензионална Gauss-ова интеграција по природните координати на средната површина и насоката низ дебелината, а дебелината \(h\) се задава како својство на елементот при пресметка на конститутивниот одзив.

FrontISTR обезбедува MITC3 (ID на елемент 731), MITC4 (741) и MITC9 (743), претставени со еден слој на средната површина, како и слоевити школкасти елементи MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 јазли, 3 DOF по јазол) и MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 јазли, 3 DOF по јазол), чии јазли се распоредени во два слоја низ дебелината. Кај слоевитите школкасти елементи, јазолните степени на слобода се само три транслациски компоненти, додека модовите на свиткување што одговараат на ротациските степени на слобода се претставуваат со двослојниот распоред.

Гредни елементи

Линиските членови, како греди и рамковски конструкции, се дискретизираат со гредни елементи. Гредните елементи ги претставуваат истегнувањето, свиткувањето и торзијата користејќи ги само транслациите и ротациите на јазлите на оската на гредата, додека деформацијата во пресекот се претставува со константи на пресекот.

Секој јазол на гредата има шест степени на слобода: три транслациски и три ротациски компоненти. Крутоста на елементот се добива со формирање матрици на крутост во затворена форма за истегнување, свиткување во две насоки и торзија во локален координатен систем определен од оската на елементот и референтната оска зададена во податоците за пресекот, а потоа со нивна трансформација во глобалниот координатен систем. Површината на пресекот \(A\), вторите моменти на површина \(I_y\) и \(I_z\) околу локалните оски \(y\) и \(z\), и торзионата константа се задаваат како податоци за пресекот; заедно со Young-овиот модул \(E\) на материјалот и модулот на смолкнување \(G\) добиен од Young-овиот модул и Poisson-овиот коефициент, тие ги определуваат соодветните коефициенти на крутост.

За свиткување се достапни две формулации: Bernoulli-Euler греда, кај која се претпоставува дека пресекот останува нормален на оската на гредата и по деформацијата и се занемарува смолкнувачката деформација, и Timoshenko греда, која ја зема предвид смолкнувачката деформација. Двете може да се изберат за 2-јазолниот греден елемент 611, при што стандардна е Bernoulli-Euler гредата. За Timoshenko греда, кога должината на елементот е \(L\), коефициентите што го претставуваат придонесот на смолкнувачката деформација,

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

се вклучуваат во коефициентите на крутост за соодветните рамнини на свиткување. На пример, коефициентот на крутост за отклон во локалната насока \(y\) е \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Тука \(A_s\) е смолкнувачката површина. Бидејќи податоците за пресек во FrontISTR не го задаваат \(A_s\) одделно, се користи \(A_s = A\). Ова е еквивалентно на коефициент на корекција на смолкнување еднаков на 1. Со \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) се добива крутоста на Bernoulli-Euler гредата.

Елементот 641 е елемент со мешани степени на слобода што претставува греда со два јазли со транслациски степени на слобода и два јазли со ротациски степени на слобода, и е формулиран како Bernoulli-Euler греда.

Поврзани теми