Движење, деформација и деформациска мерка¶

Референтна и тековна конфигурација¶

Дефиниција на конфигурациите¶

За да се разликува која временска форма се користи како основа за опис на физичките величини, во овој прирачник се користат две конфигурации.

Референтна конфигурација: недеформираната форма на почетокот на анализата (време \(0\)), наречена и почетна конфигурација. Точка во референтната конфигурација се претставува со материјалната координата \(\boldsymbol{X}\), со волумен \(V\) и површина \(S\).
Тековна конфигурација: деформираната форма во времето \(t\). Точка во тековната конфигурација се претставува со просторната координата \(\boldsymbol{x}\), со волумен \(v\) и површина \(s\).

Движењето се претставува како пресликување меѓу овие две конфигурации, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), а поместувањето се дефинира како \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Нотација зависна од конфигурацијата (големи/мали букви)¶

Големината на буквата во симболот ја разликува конфигурацијата на која ѝ припаѓа физичката величина.

Величините што ѝ припаѓаат на референтната конфигурација се пишуваат со големи симболи (на пример, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Величините што ѝ припаѓаат на тековната конфигурација се пишуваат со мали симболи (на пример, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Величините што ги поврзуваат двете конфигурации, како првото Piola-Kirchhoff напрегање \(\boldsymbol{P}\), користат конвенционална нотација и по потреба експлицитно се идентификуваат во текстот.
Во теоријата на мали деформации, разликата меѓу двете конфигурации исчезнува, па се користат само мали симболи (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Градиенти во референтната и тековната конфигурација¶

Нотацијата и значењето се разликуваат според конфигурацијата во однос на која се зема просторниот извод.

Градиент во референтната конфигурација \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): градиент во однос на материјалните координати. Пример: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Градиент во тековната конфигурација \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): градиент во однос на просторните координати. Пример: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Тие се поврзани со \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). За конвенцијата за временски изводи (материјален временски извод \(\dot{(\cdot)}\)), видете Тензорска нотација и математички основи.

Опис на движењето¶

Пресликување на движењето и материјален/просторен опис¶

Ако континуумот се смета за множество материјални точки означени со нивните положби \(\boldsymbol{X}\) во времето \(0\), движењето се претставува со пресликување \(\phi\) кое на секоја материјална точка \(\boldsymbol{X}\) ѝ ја придружува положбата \(\boldsymbol{x}\) во времето \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Според конвенцијата дека референтната конфигурација е почетната конфигурација, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Се разликуваат два описа според изборот на независните променливи.

Материјален опис (Lagrange-ов опис): ги претставува физичките величини како функции од \((\boldsymbol{X}, t)\). Во механиката на цврсти тела ова е природен избор бидејќи референтната конфигурација е зададена како фиксна форма.
Просторен опис (Euler-ов опис): ги претставува физичките величини како функции од \((\boldsymbol{x}, t)\). Ова е стандардниот опис во механиката на флуиди.

Структурната анализа во FrontISTR во основа се темели на материјалниот опис, но Updated Lagrange методот користи и величини во просторниот опис бидејќи тековната конфигурација се користи како нова референтна конфигурација.

Поместување, брзина и забрзување¶

Како што е наведено во претходниот дел, поместувањето \(\boldsymbol{u}\) се дефинира со \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Не се прави претпоставка за неговата големина, па се опфатени и конечни деформации. Векторите на брзина и забрзување се дефинираат како материјални временски изводи на \(\boldsymbol{u}\) при фиксирана материјална точка:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Овие равенки ги дефинираат брзината и забрзувањето.

Градиент на деформација и тензори на деформација¶

Тензор на градиент на деформација¶

Основната величина во механиката на континуум со конечни деформации е тензорот на градиент на деформација \(\boldsymbol{F}\). Тој е линеарното пресликување што го пресликува инфинитезималниот линиски елемент \(d\boldsymbol{X}\) во референтната конфигурација во инфинитезимален линиски елемент \(d\boldsymbol{x}\) во тековната конфигурација и се дефинира како градиент на пресликувањето на движењето во однос на материјалните координати:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Така дефиниран (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) во недеформираната состојба. \(\boldsymbol{F}\) широко се користи за дефинирање на деформација и напрегање и за трансформирање физички величини меѓу конфигурациите.

Однос на волумените¶

Односот на инфинитезималниот волумен \(dV\) во референтната конфигурација и соодветниот инфинитезимален волумен \(dv\) во тековната конфигурација се нарекува однос на волумените \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Инвертибилноста на континуумот бара \(J > 0\). Зачувувањето на масата се изразува како \(\rho_0 = J\rho\).

Десен и лев Cauchy-Green тензор на деформација¶

Бидејќи градиентот на деформација \(\boldsymbol{F}\) вклучува ротација на круто тело, мерките на самата деформација користат величини од кои е отстранета ротацијата на крутото тело. Десниот Cauchy-Green тензор на деформација \(\boldsymbol{C}\) (референтна конфигурација) и левиот Cauchy-Green тензор на деформација \(\boldsymbol{b}\) (тековна конфигурација) се дефинираат како

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

И двата се симетрични тензори и имаат исти сопствени вредности (квадрати на главните издолжувања). Главните инваријанти на функциите на енергијата на деформација кај хипереластичноста се изразуваат со овие тензори.

Тензори на деформација¶

Green-Lagrange тензор на деформација¶

Како мерка на деформација во однос на референтната конфигурација, Green-Lagrange тензорот на деформација \(\boldsymbol{E}\) се дефинира со

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Тој е симетричен тензор што ја претставува промената на скаларниот производ на инфинитезималните вектори во референтната конфигурација, е инваријантен при ротација на круто тело и задоволува \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) во недеформирана состојба. Со \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) се добива

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Ова ја изразува деформацијата како збир од членови од прв и втор ред во градиентот на поместувањето; членот од втор ред ја претставува геометриската нелинеарност. Во Total Lagrange методот се користи како работно-конјугиран пар \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi тензор на деформација¶

Како мерка на деформација во однос на тековната конфигурација, Almansi тензорот на деформација \(\boldsymbol{e}\) се дефинира со

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Тој е поврзан со Green-Lagrange деформацијата преку \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (повратно пресликување).

Инфинитезимален тензор на деформација¶

Кога градиентот на поместување е мал (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), членот од втор ред во Green-Lagrange деформацијата може да се занемари. Бидејќи тогаш исчезнува разликата меѓу двете конфигурации, мерката се сведува на инфинитезималниот тензор на деформација \(\boldsymbol{\varepsilon}\), при што градиентот се запишува во просторни координати:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR ја користи оваа мерка на деформација за линеарна статичка анализа, модална анализа, анализа на фреквентен одзив и линеарна динамичка анализа. Анализата со конечни деформации го користи \(\boldsymbol{E}\) во Total Lagrange методот и тензорот на брзина на деформација \(\boldsymbol{D}\) во однос на тековната конфигурација во Updated Lagrange методот.