Напрегање и закони за зачувување¶
Во ова поглавје се систематизираат дефинициите и меѓусебните врски на тензорите на напрегање, како и равенките на рамнотежа и симетријата на напрегањето изведени од законите за зачувување на масата, линеарниот импулс и аголниот момент. Трите тензори на напрегање — Кошиевото напрегање \(\boldsymbol{\sigma}\), првото Пиола-Кирхофово напрегање \(\boldsymbol{P}\) и второто Пиола-Кирхофово напрегање \(\boldsymbol{S}\) — се воведуваат според тоа која конфигурација се користи за референтната површина и векторот на сила. За дефиниции на конфигурација, движење и градиент на деформација, видете Движење, деформација и деформациска мерка, а за списокот на симболи видете Список на симболи на физички величини.
Кошиев тензор на напрегање¶
Нека \(d\boldsymbol{f}\) е силата што дејствува на инфинитезимална површина во точка \(\boldsymbol{x}\) во тековната конфигурација (површина \(d\Gamma\), надворешна единична нормала \(\boldsymbol{n}\)), и нека векторот на површинска сила \(\boldsymbol{t}\) се дефинира како сила по единица површина со \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) зависи и од положбата \(\boldsymbol{x}\) и од нормалата \(\boldsymbol{n}\). Примената на законот за зачувување на импулсот на инфинитезимален тетраедар покажува дека \(\boldsymbol{t}\) е линеарен по \(\boldsymbol{n}\), па постои тензор од втор ред \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) таков што
за произволно \(\boldsymbol{n}\) (Кошиева теорема за напрегање). Овој тензор \(\boldsymbol{\sigma}\) се нарекува Кошиев тензор на напрегање, а се нарекува и вистинско напрегање, бидејќи претставува сила по единица површина измерена во однос на геометријата на тековната конфигурација. Компонентата \(\sigma_{ij}\) ја претставува \(x_i\) компонентата на силата по единица површина што дејствува на инфинитезимална површина нормална на координатната оска \(x_j\) во тековната конфигурација.
Како што подоцна се покажува од зачувувањето на аголниот момент, Кошиевото напрегање е симетричен тензор:
Затоа во три димензии има шест независни компоненти (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Векторизацијата на напрегањето во Војтова нотација ја претпоставува оваа симетрија (видете Тензорска нотација и математички основи). Кошиевото напрегање се користи за излез на напрегања во геометриски нелинеарната анализа на FrontISTR со методот на ажуриран Лагранж и во анализа со мали деформации.
Прво и второ Пиола-Кирхофово напрегање¶
При конечни деформации често е погодно напрегањето да се изрази во однос на површини и вектори во референтната конфигурација, па се воведуваат два Пиола-Кирхофови тензори на напрегање. Нека површината на инфинитезимална површина во референтната конфигурација е \(d\Gamma_0\), а нејзината надворешна единична нормала \(\boldsymbol{N}\).
Првото Пиола-Кирхофово напрегање (прво PK напрегање, номинално напрегање) \(\boldsymbol{P}\) се дефинира како тензор на напрегање што се добива кога силата \(d\boldsymbol{f}\) во тековната конфигурација се применува на инфинитезимална површина во референтната конфигурација:
Со Нансоновата формула \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) заедно со Кошиевата теорема за напрегање се добива врската со Кошиевото напрегање
Првото PK напрегање генерално не е симетрично.
Второто Пиола-Кирхофово напрегање (второ PK напрегање) \(\boldsymbol{S}\) се дефинира како тензор на напрегање што се добива со повлекување на силата \(d\boldsymbol{f}\) од тековната конфигурација назад во референтната конфигурација со \(\boldsymbol{F}^{-1}\) и нејзино применување на инфинитезимална површина во референтната конфигурација:
И векторот на сила и површината на која дејствува се изразени со величини од референтната конфигурација, поради што тензорот е инваријантен при ротација на круто тело и е симетричен. Неговата врска со првото PK напрегање и трансформацијата од Кошиево напрегање се
Второто PK напрегање се изведува од хипереластична функција на енергија на деформација \(W(\boldsymbol{C})\) како \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) и, во методот на тотален Лагранж, се користи заедно со Грин-Лагранжовата деформација \(\boldsymbol{E}\) како работно конјугиран пар \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
Референтните конфигурации и својствата на симетрија се сумирани подолу. Во границата на мали деформации (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), трите напрегања се совпаѓаат.
| Тензор на напрегање | Референтна површина | Вектор на сила | Симетрија | Примена |
|---|---|---|---|---|
| Кошиево напрегање \(\boldsymbol{\sigma}\) | Тековна конфигурација \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Тековна конфигурација \(d\boldsymbol{f}\) | Симетрично | Метод на ажуриран Лагранж / анализа со мали деформации |
| Прво PK напрегање \(\boldsymbol{P}\) | Референтна конфигурација \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Тековна конфигурација \(d\boldsymbol{f}\) | Генерално несиметрично | Равенки на рамнотежа во референтната конфигурација |
| Второ PK напрегање \(\boldsymbol{S}\) | Референтна конфигурација \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Референтна конфигурација \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Симетрично | Метод на тотален Лагранж / хипереластичност |
Зачувување на масата и импулсот и равенки на рамнотежа¶
Нека \(\rho\) е густината на маса во тековната конфигурација, а \(\rho_0\) густината на маса во референтната конфигурација. Законот за зачувување на масата \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), заедно со трансформацијата на волуменскиот елемент \(dv = J\, dV\), се сведува на локалната форма
Ова е локалната релација за зачувување на масата.
Нека \(\boldsymbol{g}\) е волуменската сила по единица маса, а \(\boldsymbol{a}\) забрзувањето. Со примена на Кошиевата теорема за напрегање и Гаусовата теорема за дивергенција врз законот за зачувување на линеарниот импулс (прв Ејлеров закон на движење) се добива локалната равенка на рамнотежа (равенка на движење) во тековната конфигурација:
Со препишување на интегралот во референтната конфигурација со Нансоновата формула и \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) се добива локалната форма во референтната конфигурација:
Двете форми се еквивалентни преку правилото за трансформација на напрегањето и \(\rho_0 = J\rho\). Со занемарување на инерцијалниот член се добива
што е равенката на статичка рамнотежа и претставува појдовна равенка за статичката анализа на FrontISTR (линеарна и нелинеарна).
Зачувување на аголниот момент и симетрија на напрегањето¶
Со комбинирање на законот за зачувување на аголниот момент (втор Ејлеров закон на движење) со равенката на рамнотежа добиена од зачувувањето на линеарниот импулс се добива симетријата на Кошиевиот тензор на напрегање:
Оттука, во три димензии тој има шест независни компоненти. Со транспонирање на двете страни од трансформацијата \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) и користење на несингуларноста на \(\boldsymbol{F}\) се покажува дека и второто PK напрегање е симетрично:
и затоа исто така има шест независни компоненти. Наспроти тоа, првото PK напрегање \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) генерално не е симетрично; важи само релацијата \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (односно \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) е симетрично), и има девет независни компоненти.
Овие симетрии се основа за изразување на напрегањето како шесткомпонентен вектор во Војтова нотација. За конвенциите на Војтовата нотација и конструкцијата на материјалните матрици, видете Тензорска нотација и математички основи и Линеарна еластичност.