Прескокнете до содржината

Принцип на виртуелна работа

Врз основа на равенката на рамнотежа и граничните услови изведени во Напрегање и закони за зачувување, го изведуваме принципот на виртуелна работа, кој е слабата форма на граничниот проблем во механиката на континуум. Дискретизацијата со конечни елементи започнува од оваа слаба форма. Ова поглавје ги прикажува и обликот во тековната конфигурација (изразен со Cauchy-ево напрегање и линеарниот дел на Almansi-евата деформација) и обликот во референтната конфигурација (изразен со второто Piola-Kirchhoff напрегање и Green-Lagrange деформацијата), ја покажува нивната еквивалентност, а потоа го потврдува сведувањето на мали деформации.

Равенка на рамнотежа и гранични услови

Нека \(\boldsymbol{g}\) е волуменската сила по единица маса што дејствува врз континуумот и разгледајте тело што го зафаќа доменот \(\Omega\) во тековната конфигурација. Границата \(\Gamma\) е поделена на геометриска граница \(\Gamma_B\), на која поместувањето е зададено како \(\bar{\boldsymbol{u}}\), и механичка граница \(\Gamma_t\), на која површинската сила е зададена како \(\bar{\boldsymbol{t}}\), при што \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) и \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). За статички проблем, равенката на рамнотежа се добива со изоставување на инерцијалниот член од законот за зачувување на импулсот прикажан во Напрегање и закони за зачувување:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

Граничните услови се

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Во продолжение, принципот на виртуелна работа се изведува како слаба форма на равенката на рамнотежа и механичкиот граничен услов \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Геометрискиот граничен услов \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) се вградува преку изборот на тест-функцијата.

Слаба форма во тековната конфигурација

Во слабата форма, допустливиот простор за непознатото поместување и просторот на тест-функциите се дефинираат, соодветно, како

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

Тука, \(d\) е просторната димензија, \(H^1(\Omega)\) е Sobolev-овиот простор на функции што се квадратно интеграбилни заедно со нивните први слаби изводи, а \(\delta\) означува варијација. Во претставувањето во тековната конфигурација, \(\Omega\) е деформираната конфигурација; во реално нумеричко решение таа се пресликува назад во референтната или во позната меѓуконфигурација.

Со множење на равенката на рамнотежа со тежината \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) и примена на Gauss-овата теорема за дивергенција и механичкиот граничен услов се добива следниот принцип на виртуелна работа во тековната конфигурација.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Тука, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) е линеарниот дел на Almansi-евиот тензор на деформација, дефиниран со

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Неговата варијација е \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Значи, бараме \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) така што равенката на виртуелна работа да биде задоволена за секое \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Левата страна е виртуелната работа на внатрешните сили, а десната страна е виртуелната работа на надворешните сили поради зададената површинска и волуменска сила.

Бидејќи оваа равенка е запишана над деформираниот домен (тековната конфигурација), реалната постапка за решавање повторно ја избира почетната конфигурација \(\Omega_0\) (референтна конфигурација) или позната меѓуконфигурација како референтна, ја препишува равенката во инкрементален облик и потоа ја решава. За конкретниот избор на референтна конфигурација (Total Lagrange / Updated Lagrange) и инкременталното разложување видете Рамка за инкрементална анализа.

Слаба форма во почетната конфигурација

Разгледајте тело што го зафаќа доменот \(\Omega_0\) во референтната конфигурација, со граница \(\Gamma_0\) поделена на \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Со пресликување на претставувањето во тековната конфигурација назад во референтната конфигурација се добива конјугираниот пар напрегање-деформација составен од второто Piola-Kirchhoff напрегање \(\boldsymbol{S}\) и Green-Lagrange деформацијата \(\boldsymbol{E}\). Принципот на виртуелна работа во почетната конфигурација тогаш е

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Тука, \(\rho_0\) е густината на маса во референтната конфигурација, а според релацијата за зачувување на масата \(\rho_0 = J\rho\), ова е еквивалентно на претставувањето на волуменската сила во тековната конфигурација.

Еквивалентност на претставувањата во тековната и почетната конфигурација

Виртуелната работа на внатрешните сили во двете претставувања се совпаѓа преку трансформацијата со градиентот на деформација \(\boldsymbol{F}\) и односот на волумените \(J = \det \boldsymbol{F}\); имено,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Членовите на надворешните сили се исто така еквивалентни поради зачувувањето на масата и трансформацијата на површинската сила. Затоа, равенката на виртуелна работа во тековната конфигурација и онаа во почетната конфигурација го изразуваат истиот принцип во различни конфигурации. Методот на решавање што се повикува на референтната конфигурација одговара на Total Lagrange методот, додека методот на решавање што се повикува на тековната конфигурација (непосредно претходната конвергирана конфигурација) одговара на Updated Lagrange методот.

Сведување на мали деформации

Под претпоставките за мали деформации \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) и \(J \approx 1\), исчезнува разликата меѓу тековната и референтната конфигурација, второто PK напрегање се совпаѓа со Cauchy-евото напрегање (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), а Green-Lagrange деформацијата и линеарниот дел на Almansi-евата деформација се сведуваат на инфинитезималната деформација \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Принципот на виртуелна работа тогаш се сведува на слабата форма изразена преку Cauchy-евото напрегање \(\boldsymbol{\sigma}\) и инфинитезималната деформација \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Ова е слабата форма што директно се користи за дискретизација при линеарно-еластична статичка анализа со мали деформации (Линеарно-еластична статичка анализа (вовед и додаток) започнува од оваа форма и ја покажува конструкцијата на матрицата на крутост на елементот \(\boldsymbol{K}^e\) преку составување на глобалната равенка \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Со замена на линеарно-еластичниот конститутивен закон \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) и запишување \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) во Voigt-ова нотација, слабата форма станува

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

што го има овој облик.

Поврзани теми