Прескокнете до содржината

Рамка на инкрементална анализа

Потреба од инкрементална анализа

Како што беше опишано погоре, при анализа на проблеми со мали деформации може да се изврши анализа со конечни елементи со употреба на принципот на виртуелна работа, кој е еквивалентен на основните равенки како равенките на рамнотежа, и со дискретизација на оваа равенка со конечни елементи. Истиот основен принцип на виртуелна работа се користи и при анализа на проблеми со конечни деформации што вклучуваат големи деформации на конструкции.

Меѓутоа, кај проблемите со конечни деформации, дури и ако се претпостави линеарност на материјалот, равенката на принципот на виртуелна работа станува нелинеарна во однос на поместувањето. За решавање нелинеарни равенки вообичаено се вршат повторувачки пресметки со итеративен метод.

Во тие итеративни пресметки се користи метод на инкрементална анализа во кој пресметката се извршува парцијално за мали прирасти на оптоварувањето и тие прирасти се акумулираат до достигнување на конечната деформирана состојба. Кога се претпоставува проблем со мали деформации, не се прави посебна разлика меѓу конфигурациите пред и по деформацијата при дефинирање на деформацијата и напрегањето. Односно, под претпоставка на мали деформации не е важно дали конфигурацијата со која се опишуваат основните равенки е онаа пред или по деформацијата.

Кога се врши инкрементална анализа за проблем со конечни деформации, формулацијата се разликува во зависност од тоа дали како референтна конфигурација се зема почетната конфигурација или конфигурацијата на почетокот на инкрементот. Првиот пристап се нарекува total Lagrange метод, а вториот updated Lagrange метод. За детали видете ги референците на крајот од поглавјето и сродните материјали.

Почетна равенка: принцип на виртуелна работа во време \(t'\)

Да разгледаме инкрементална анализа во која состојбата до време \(t\) е позната, а состојбата во време \(t' = t + \Delta t\) е непозната (видете Слика 2.2.1). Равенките на рамнотежа, граничните услови и принципот на виртуелна работа во време \(t'\) (изразени во тековната конфигурација со Cauchy напрегање \(^{t'}\sigma\) и линеарниот дел на Almansi деформацијата \(^{t'} A_{(L)}\)) се дадени во Принцип на виртуелна работа.

Концепт на инкрементална анализа

Слика 2.2.1　Концепт на инкрементална анализа

Меѓутоа, бидејќи оваа почетна равенка е запишана во (непознатата) конфигурација во време \(t'\), во фактичката постапка на решавање повторно се избира или во време \(0\) почетната конфигурација \(V\) или во време \(t\) тековната конфигурација \(^{t'} v\) како референтна конфигурација, равенката се препишува во инкрементална форма, а потоа се решава:

  • Total Lagrange метод — Како референтна се користи почетната конфигурација \(V\). Се користат 2-рото PK напрегање \(\boldsymbol{S}\) и Green-Lagrange деформацијата \(\boldsymbol{E}\).
  • Updated Lagrange метод — Како референтна се користи тековната конфигурација \(^{t}v\) на почетокот на инкрементот. Се користат Cauchy напрегањето \(\boldsymbol{\sigma}\) и линеарниот дел на Almansi деформацијата \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

За просторната дискретизација на двете формулации (B-матрица и вектор на внатрешни сили), видете Дискретизација на внатрешната виртуелна работа; за линеаризацијата и составувањето на тангентната крутост видете Матрица на тангентна крутост.

Поврзани теми