Прескокнете до содржината

Тензорска нотација и математички основи

Во ова поглавје се собрани правилата за тензорска, индексна и Voigt-нотација што се користат во понатамошните поглавја од теоретскиот прирачник на FrontISTR. Овде се опишуваат само чисти правила за нотација, независни од дефиницијата на физичките величини. Правилата што зависат од конфигурацијата поврзана со движењето на континуумот (референтна/тековна конфигурација), како употребата на големи и мали букви и разликата меѓу материјален и просторен извод, се дадени во Движење, деформација и деформациска мерка, каде што се воведува поимот конфигурација.

Тензорска нотација

Запис на вектори и тензори со задебелени симболи

Како основно типографско правило, скаларните величини и компонентите на векторите и тензорите се запишуваат со обичен фонт (на пр. \(\rho\), \(x_i\)), додека самите векторски и тензорски величини се запишуваат задебелено (на пр. \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Ајнштајнова конвенција за сумирање

Освен ако не е наведено поинаку, кога ист индекс се појавува двапати во ист член се применува Ајнштајновата конвенција за сумирање, односно се сумира по тој индекс. На пример,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

за тензорите \(\boldsymbol{A}\) и \(\boldsymbol{B}\), производот \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) има компонента \(i,j\) еднаква на

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Како индексна конвенција, ако не е наведено поинаку, индексите \(i, j, k, l, \ldots\) се однесуваат на степените на слобода (во 3D: \(1, 2, 3\)), а малите грчки букви \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) се однесуваат на јазлите што го сочинуваат елементот.

Внатрешен производ, транспонирање и тензорски производ

Транспонираниот тензор на \(\boldsymbol{A}\) се означува со \(\boldsymbol{A}^T\). Внатрешниот производ (двојна контракција) на тензорите од втор ред \(\boldsymbol{A}\) и \(\boldsymbol{B}\) се означува со

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Внатрешниот производ на векторите \(\boldsymbol{a}\) и \(\boldsymbol{b}\) е \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), а тензорскиот производ е \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-нотација

Напрегањето и деформацијата се симетрични тензори од втор ред во однос на степените на слобода, а коефициентот што ја опишува нивната линеарна врска е тензор од четврти ред. Директното користење на овие тензори во програма е неповолно од аспект на пресметковниот товар и кодирањето (повеќедимензионални низи и длабоко вгнездени циклуси). Затоа, во вообичаените програми за методот на конечни елементи, со користење на симетријата напрегањето и деформацијата се компресираат во колони-вектори, а тензорот на еластичност од четврти ред во дводимензионална матрица. Ова се нарекува Voigt-нотација.

Во продолжение, матричниот или векторскиот запис на тензорската величина \(\boldsymbol{A}\) се означува со \(\hat{A}\) за да се разликува од оригиналниот тензор.

Векторски запис на напрегањето и деформацијата

За симетричниот тензор на напрегање \(\boldsymbol{\sigma}\) и тензорот на деформација \(\boldsymbol{\varepsilon}\), во две димензии се користи

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

а во три димензии

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

и се третираат како колони-вектори. Истото правило се применува и на изведени величини како варијации и изводи. Забележете дека компонентите на смолкнувачката деформација се множат со фактор 2 (компонентите на напрегањето не). Благодарение на оваа асиметрија, тензорскиот внатрешен производ може едноставно да се запише како векторски внатрешен производ:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Во имплементацијата лесно може да се направи грешка со факторот 2 кај смолкнувачката деформација, па секогаш треба да се има предвид правилото „без фактор кај напрегањето / со фактор кај деформацијата“. Истата Voigt-конвенција се применува и на величините во референтната конфигурација (второ Piola-Kirchhoff напрегање \(\boldsymbol{S}\) и Green-Lagrange деформација \(\boldsymbol{E}\)).

Матричен запис на тензор од четврти ред

За линеарната врска меѓу напрегањето и деформацијата \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (во компоненти \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), со користење на симетријата на \(\boldsymbol{\varepsilon}\) може да се запише

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Во три димензии, ако \(\tilde{C}\) се распореди како материјална матрица \(\hat{\tilde{C}}\) со големина 6×6, оригиналната тензорска врска станува

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Во продолжение, освен ако не е наведено поинаку, материјалната матрица во овој прирачник се означува со \(D\) (или \(\hat{C}\)). За конкретните компоненти кај изотропна линеарна еластичност видете Линеарна еластичност.

Конвенции за диференцијални оператори

Оператор на симетричен градиент

За векторското поле \(\boldsymbol{u}\), операторот на симетричен градиент \(\nabla_S\) се дефинира како

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Во компонентен запис, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Деформацијата при мали деформации \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) може компактно да се запише со овој оператор. Изборот на конфигурацијата (референтна/тековна) во која се пресметува градиентот при конечни деформации е опишан во Движење, деформација и деформациска мерка.

Материјален временски извод

Материјалниот временски извод на величината \(A\) (временски извод следејќи ја истата материјална точка) се означува со точка над симболот, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Брзината и забрзувањето ја следат оваа конвенција.

Поврзани теми