Список на симболи за физички величини
Оваа страница ги наведува симболите за физичките величини што се користат во теорискиот прирачник на FrontISTR. За конвенциите на нотација (задебелена нотација за вектори и тензори, Einstein-ова конвенција за сумирање и Voigt-нотација), видете Тензорска нотација и математички основи.
Конфигурации и координатни системи
| Симбол | Опис |
| \(\boldsymbol{X}\) | Положбен вектор на материјална точка во референтната (почетна) конфигурација (материјални координати) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Положбен вектор на материјална точка во тековната конфигурација (просторни координати) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Пресликување на движењето: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Домен зафатен од телото во референтната конфигурација |
| \(\Omega\) | Домен зафатен од телото во тековната конфигурација |
| \(\Gamma_0\) | Граница на \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Граница на \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Геометриска (поместувачка) граница: граница во тековната/референтната конфигурација на која е зададено \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Механичка граница: граница во тековната/референтната конфигурација на која е зададено \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (или \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Надворешен единичен нормален вектор на површина во тековната конфигурација |
| \(\boldsymbol{N}\) | Надворешен единичен нормален вектор на површина во референтната конфигурација |
| \(t\) | Време |
Конвенција: Физичките величини во референтната конфигурација се означуваат со големи букви или индекс \(0\), додека величините во тековната конфигурација се означуваат со мали букви.
Време и прирасти (инкрементална анализа)
| Симбол | Опис |
| \(\Delta t\) | Временски прираст: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Физичка величина во време \(t\) (лев горен индекс). Пример: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) е Cauchy-евото напрегање во време \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Домен на тековната конфигурација во време \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Граница на тековната конфигурација во време \(t\) |
Конвенција: Во инкрементална анализа, состојбата до време \(t\) се третира како позната, а состојбата во време \(t + \Delta t\) се решава како непозната. Левиот горен индекс се изоставува кога времето не мора експлицитно да се наведе. Формулацијата што ја користи референтната конфигурација \(\Omega_0\) како референца се нарекува Total Lagrange формулација, додека формулацијата што ја користи тековната конфигурација \(^{t}\Omega\) на почетокот на прирастот како референца се нарекува Updated Lagrange формулација.
Поместување, брзина, забрзување и волуменска сила
| Симбол | Опис |
| \(\boldsymbol{u}\) | Вектор на поместување: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Поместување зададено на геометриската граница \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Виртуелно поместување (тест-функција): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) на \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Вектор на брзина: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Вектор на забрзување: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Волуменска сила (по единица маса) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Вектор на површинска сила (по единица површина): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Површинска сила зададена на механичката граница \(\Gamma_t\) (Neumann-ови податоци) |
Диференцијални оператори
| Симбол | Опис |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Материјален временски извод (временски извод следејќи ја истата материјална точка): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Градиент во референтната конфигурација (градиент според материјалните координати \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Градиент во тековната конфигурација (градиент според просторните координати \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Симетричен оператор на градиент: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Забелешка: \(\nabla_X\) и \(\nabla_x\) се поврзани со \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градиент без индекс, \(\nabla\), се користи кога конфигурацијата е јасна од контекстот или кога разликата исчезнува, како кај проблеми со мали деформации.
Тензори на деформација
| Симбол | Опис |
| \(\boldsymbol{F}\) | Тензор на градиент на деформација: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Однос на волумени: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Десен Cauchy-Green тензор на деформација: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Лев Cauchy-Green тензор на деформација: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Тензор на градиент на брзина: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Тензор на брзина на деформација (симетричен дел од \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Тензор на спин (косо-симетричен дел од \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Тензори на деформациска мерка
| Симбол | Опис |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange тензор на деформација (референтна конфигурација): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi тензор на деформација (тековна конфигурација): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Линеарен дел од Almansi тензорот на деформација (симетричен градиент на поместување во тековната конфигурација): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Тензор на инфинитезимална деформација (линеарна апроксимација): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Забелешка: \(\boldsymbol{E}\) се користи главно во Total Lagrange формулацијата, додека \(\boldsymbol{D}\) се користи главно во Updated Lagrange формулацијата.
Тензори на напрегање
| Симбол | Опис |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-ев тензор на напрегање (вистинско напрегање, тековна конфигурација): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Прв Piola-Kirchhoff тензор на напрегање (номинално напрегање): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Втор Piola-Kirchhoff тензор на напрегање (референтна конфигурација, симетричен): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Релации за преобразба меѓу тензорите на напрегање:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Конвенција: Total Lagrange формулацијата го користи парот \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), додека Updated Lagrange формулацијата го користи парот \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Густина и маса
| Симбол | Опис |
| \(\rho\) | Масена густина во тековната конфигурација |
| \(\rho_0\) | Масена густина во референтната конфигурација |
Зачувување на масата: \(\rho_0 = J\rho\).
Материјални константи (линеарна еластичност)
| Симбол | Опис |
| \(E\) | Young-ов модул |
| \(\nu\) | Poisson-ов коефициент |
| \(\lambda\) | Прва Lamé-ова константа: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Втора Lamé-ова константа (модул на смолкнување): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Тензор на еластичност (четврт ред): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), компоненти \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (или \(\hat{\tilde{C}}\)) | Материјална матрица (Voigt-нотација, \(6\times6\) во 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Компоненти на тензорот на еластичност за изотропен линеарно еластичен материјал:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Хипереластични материјали
| Симбол | Опис |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Функција на еластичен потенцијал (функција на густина на деформациска енергија) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Главни инваријанти на десниот Cauchy-Green тензор \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Редуцирани инваријанти на \(\boldsymbol{C}\) (одделена волуменска промена) |
| \(C_1, C_2\) | Материјални константи на Mooney-Rivlin моделот |
| \(D\) | Материјална константа поврзана со волуменската еластичност |
Еластопластични материјали
| Симбол | Опис |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Еластична компонента на тензорот на брзина на деформација |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Пластична компонента на тензорот на брзина на деформација |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Функција на течење |
| \(\kappa\) | Внатрешна променлива што ја претставува пластичната состојба (променлива на изотропно зацврстување) |
| \(\lambda^p\) | Пластичен множител (множител на брзината на пластична деформација): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Пластичен потенцијал (\(\Theta = F\) за асоцирано правило на течење) |
| \(\bar{\sigma}\) | Еквивалентно напрегање (на пр., von Mises напрегање) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Еквивалентна пластична деформација |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Функција на изотропно зацврстување |
Услов на комплементарност: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Метод на конечни елементи
| Симбол | Опис |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Домени во тековната и референтната конфигурација апроксимирани со дискретизација со конечни елементи: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Домен на елемент во тековната и референтната конфигурација |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Дел од границата на елементот што припаѓа на механичката граница |
| \(\boldsymbol{r}\) | Природни координати (локални координати на елементот) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Точка во природни координати што одговара на јазолот \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Облик-функција што одговара на јазолот \(\alpha\) на елементот \(e\) |
| \(n_e\) | Број на јазли што го сочинуваат елементот |
| \(n_g\) | Вкупен број глобални јазли |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Координати и поместување на јазолот \(\alpha\) на елементот |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Вектори на јазолни координати и поместувања на елементот: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), итн. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Глобални вектори на јазолни координати и поместувања (подредени по број на јазол, потоа по степен на слобода) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Матрица на релација деформација-поместување (B-матрица) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Матрица на облик-функции: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) е блок \(d \times d\) со облик-функцијата \(N_\alpha^e\) за јазолот \(\alpha\) на дијагоналата, а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Матрица на крутост на елементот |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Интегранди на матрицата на крутост на елементот (изразени во референтната и тековната конфигурација): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL формулација), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL формулација) | Вектор на внатрешни сили на елементот |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Јазолна надворешна сила што дејствува на јазолот \(\alpha\) на елементот и вектор на јазолни надворешни сили на елементот: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Глобален вектор на внатрешни сили и глобален вектор на надворешни сили: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогно за \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Јазолна внатрешна сила и јазолна надворешна сила во глобалниот јазол \(i_g\) (јазолни блокови на \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Глобална тангентна матрица на крутост: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матрица формирана со поставување на блокот \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) во ред \(i_g\), колона \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Резидуален вектор во Newton-Raphson итерација: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Корекција во Newton-Raphson итерација (се добива со решавање на линеарната равенка \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) во итерација \(i\)) |
| \(i_g\) | Глобален број на јазол (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Глобален број на јазол што одговара на локалниот број на јазол \(\alpha\) на елементот \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Множество од парови \((e, \alpha)\) што одговараат на глобалниот број на јазол \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Се користи при операции на составување |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Множество од тројки \((e, \alpha, \beta)\) што одговараат на парот глобални броеви на јазли \((i_g, i_h)\); се користи за составување на матрицата на крутост |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Индекси за јазлите што го сочинуваат елементот |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Индекси за степени на слобода (\(1, 2, 3\) во 3D) |
Напредни и структурни елементи
| Симбол | Опис |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Матрица на релација деформација-поместување чиј волуменски дел е изменет со B-bar методот (волуменската компонента се заменува со B-матрицата оценета во центарот на елементот) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Градиент на деформација чиј волуменски дел е изменет со F-bar методот: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Однос на волумени на градиентот на деформација оценет во центарот на елементот \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Вектор на внатрешни степени на слобода за елемент со некомпатибилен мод (коефициенти на дополнителни модови на поместување што не наметнуваат континуитет на границата на елементот) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Облик-функции за некомпатибилни модови: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Дебелина на школка-елемент |
| \(A\) | Површина на напречен пресек на греден елемент |
| \(I\) | Втор момент на површина на напречен пресек на греден елемент |
| \(G\) | Модул на смолкнување: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Поврзани теми