Прескокнете до содржината

Методи за динамичка анализа

Овој дел ги опишува методите за анализа на динамички проблеми со директна временска интеграција. Подолу се прикажани формулациите на имплицитниот и експлицитниот метод.

Дискретизација на равенката на движење (заедничка рамка)

TBD (ќе биде довршено во следната фаза).

Имплицитен метод (Newmark-β метод)

За динамички проблеми се применува метод на директна временска интеграција за решавање на равенката на движење прикажана подолу.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Тука, \(M\) е матрицата на маса, \(C\) е матрицата на пригушување, \(Q\) е векторот на внатрешни сили, а \(F\) е векторот на надворешни сили. Се претпоставува дека матрицата на маса останува константна независно од деформацијата, дури и при нелинеарна анализа.

Промените на поместувањето, брзината и забрзувањето во временскиот прираст \(\Delta t\) се апроксимираат со Newmark-\(\beta\) методот како што е прикажано во равенките \(\eqref{eq:2.5.2}\) и \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Тука, \(\gamma\) и \(\beta\) се параметри на Newmark-\(\beta\) методот.

Како што е добро познато, следните вредности на \(\gamma\) и \(\beta\) одговараат, соодветно, на методот на линеарно забрзување и трапезоидното правило.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (метод на линеарно забрзување)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (трапезоидно правило)

Со замена на равенките \(\eqref{eq:2.5.2}\) и \(\eqref{eq:2.5.3}\) во равенката \(\eqref{eq:2.5.1}\) се добива следната равенка.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Особено, за линеарен проблем, \(K_L\) е линеарната матрица на крутост и \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Со замена на оваа релација во горната равенка се добива следната равенка.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

На местата каде забрзувањето е зададено како геометриски граничен услов, поместувањето се добива од равенката \(\eqref{eq:2.5.2}\) како што следува.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Слично, на местата каде брзината е зададена, поместувањето се добива од равенката \(\eqref{eq:2.5.6}\) како што следува.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Тука, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) е јазолното поместување во времето \(t+\Delta{t}\), а \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) е јазолната брзина во времето \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) е јазолното забрзување во времето \(t+\Delta{t}\), \(i\) е бројот на јазолниот степен на слобода, а \(s\) е бројот на јазолот. Членовите за маса и пригушување се третираат на следниов начин.

Третман на членот за маса

Во принцип, матрицата на маса се третира како концентрирана матрица на маса.

Третман на членот за пригушување

Членот за пригушување се третира како Rayleigh-ово пригушување изразено со равенката \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Тука, \(R_m\) и \(R_k\) се параметрите на Rayleigh-овото пригушување.

Вредностите \(R_m\) и \(R_k\) зададени на картичката !DYNAMIC се применуваат рамномерно на целиот модел. За да зададете различни вредности \(R_m\) и \(R_k\) за секој материјал, наведете ја картичката !DAMPING во блокот !MATERIAL на тој материјал. За елементите што припаѓаат на материјал за кој е зададено !DAMPING, матрицата на пригушување на елементот се пресметува како \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) од матрицата на маса на елементот \(M_i\) и тангентната матрица на крутост \(K_i\), а потоа се составува во глобалната матрица на пригушување. Оваа функција важи само за имплицитниот метод.

Експлицитен метод (метод на централни разлики)

Експлицитниот метод се заснова на равенката на движење во време t прикажана подолу.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Ако поместувањата во времињата \(t + \Delta t\) и \(t - \Delta t\) се изразат со Taylor-ови развои околу времето \(t\) и се задржат членовите до втор ред по \(\Delta t\), се добиваат следните равенки.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Со земање на разликата и збирот на равенките \(\eqref{eq:2.5.3}\) и \(\eqref{eq:2.5.4}\) се добиваат следните равенки.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Со замена на равенките \(\eqref{eq:2.5.12}\) и \(\eqref{eq:2.5.13}\) во равенката \(\eqref{eq:2.5.9}\) се добива следната равенка.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Особено, за линеарен проблем, \(Q(t) = K_L U(t)\), и горната равенка станува

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Ако матрицата на маса \(M\) се земе како концентрирана матрица на маса, а матрицата на пригушување како пропорционална матрица на пригушување \(C = R_m M\), равенката \(\eqref{eq:2.5.15}\) не бара решавање на систем истовремени равенки.

Затоа, од равенката \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) може да се добие со следната равенка.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Поврзани теми