Модална анализа¶

Генерализиран проблем на сопствени вредности¶

За анализа на слободни вибрации на континуум, доменот се дискретизира просторно и се моделира како систем со повеќе степени на слобода и концентрирани маси, како што е прикажано на слика 2.3.1. За незадушен проблем на слободни вибрации, владејачката равенка (равенката на движење) е следна.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Тука, $u$ е генерализираниот вектор на поместување, $M$ е матрицата на маса, а $K$ е матрицата на крутост. Нека $\omega$ е сопствената аголна фреквенција, нека $a$ и $b$ се произволни константи што не се истовремено нула, а $x$ е вектор. Дефинирајте ја функцијата

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Вториот извод на овој израз е

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Со замена на равенката $\eqref{eq:2.3.2}$ и равенката $\eqref{eq:2.3.3}$ во равенката $\eqref{eq:2.3.1}$ се добива

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Со тоа се добива горната равенка.

За нетривијална вибрација, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ не е идентично еднакво на нула.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Оттука следува горната релација. Ако се постави $\lambda=\omega^2$, се добива

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Со тоа се добива горната равенка.

Скаларот $\lambda$ се нарекува сопствена вредност, векторот $x$ се нарекува сопствен вектор, а проблемот изразен со равенката $\eqref{eq:2.3.5}$ се нарекува генерализиран проблем на сопствени вредности.

Сопствената аголна фреквенција $\omega$ се добива од сопствената вредност $\lambda=\omega^2$, а соодветниот сопствен вектор $x$ ја претставува формата на модот.

Пример на систем со повеќе степени на слобода при незадушени слободни вибрации

Слика 2.3.1 Пример на систем со повеќе степени на слобода при незадушени слободни вибрации

Својства и претпоставки за матриците¶

За генерализираниот проблем на сопствени вредности $Kx=\lambda Mx$ добиен во претходниот дел, во овој прирачник се претпоставува дека матриците се симетрични. Кај комплексните матрици тоа одговара на Хермитови матрици, а кај реалните матрици — на симетрични матрици.

Нека $k_{ij}$ е елементот $ij$ на матрицата $K$. Хермитовото својство се изразува со

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

горната равенка, каде што $\bar{k}_{ji}$ е комплексно конјугираната вредност на $k_{ji}$. За реални матрици оваа релација станува $k_{ij}=k_{ji}$.

Реална симетрична матрица $H$ е позитивно дефинитна ако за секој ненулт вектор $x$

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

важи горната нееднаквост. Во тој случај сите сопствени вредности на $H$ се позитивни.

Во структурен проблем на сопствени вредности, матрицата на маса $M$ вообичаено се третира како позитивно дефинитна. Матрицата на крутост $K$, меѓутоа, зависно од ограничувањата може да биде позитивно полудефинитна и да има нулти сопствени вредности што одговараат на модови на круто тело.

Поместена инверзна итерација¶

Во структурната анализа со конечни елементи, во практика обично не се потребни сите сопствени вредности; во многу случаи доволни се само неколку сопствени вредности од понизок ред. HEC-MW е наменет за големи проблеми, кај кои матриците се големи и многу ретки (содржат многу нулти елементи). Затоа е важно сопствените вредности на модовите од понизок ред да се пресметуваат ефикасно, имајќи го предвид ова својство.

За поместување $\sigma$, ако $-\sigma$ не е сопствена вредност и $K+\sigma M$ е несингуларна, равенката $\eqref{eq:2.3.5}$ може да се преобрази на следниов начин.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Ова преобразување го остава сопствениот вектор $x$ непроменет, а сопствената вредност $\lambda$ ја пресликува во $1/(\lambda+\sigma)$.

Следствено, колку $\lambda$ е поблиску до $-\sigma$, толку е поголема апсолутната вредност на преобразената сопствена вредност. За структурен проблем на сопствени вредности важат $\lambda \geq 0$ и $\sigma \geq 0$, па најниската сопствена вредност се пресликува во сопствената вредност со најголема апсолутна вредност. Со користење на ова својство, примената врз равенката $\eqref{eq:2.3.8}$ на итеративен метод што најпрво тежнее да конвергира кон сопствени вредности со голема апсолутна вредност овозможува сопствените вредности од понизок ред ефикасно да се добијат по растечки редослед.

Овој метод се нарекува поместена инверзна итерација.

За анализи со ограничувања, FrontISTR поставува $\sigma = 0$, па равенката $\eqref{eq:2.3.8}$ станува $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, односно инверзна итерација без поместување. Кај неограничена слободно-слободна анализа, $K$ е сингуларна бидејќи има нулти сопствени вредности што одговараат на модови на круто тело; задавањето позитивна вредност на $\sigma$ ја регуларизира $K+\sigma M$. Вредноста на $\sigma$ се задава со SIGMA во !EIGEN.

Lanczos метод¶

Причина за употреба (споредба со Jacobi методот)¶

Меѓу класичните методи, Jacobi методот е добро познат.

Овој метод е ефикасен кога матрицата е мала и густа. Меѓутоа, бидејќи матриците што ги обработува HEC-MW се големи и ретки, Jacobi методот не се користи; наместо него се применува итеративниот Lanczos метод.

Алгоритам и карактеристики¶

Методот, предложен од C. Lanczos во 1950-тите, е алгоритам за сведување на матрица во тридијагонален облик и ги има следниве карактеристики.

Тој е итеративен метод и може да ја извршува пресметката додека матрицата останува ретка.
Операциите главно се состојат од производи матрица-вектор, па методот е погоден за паралелизација.
Погоден е за геометриско разложување на доменот поврзано со мрежи со конечни елементи.
Ефикасна пресметка е можна со ограничување на бројот на сопствени вредности или опсегот на модови што треба да се добијат.

Lanczos методот започнува од почетен вектор, последователно конструира ортогонални вектори и добива база на Krylov потпростор.

Во аритметика со конечна прецизност, грешките од заокружување може да предизвикаат губење на ортогоналноста на векторите. За да го потисне овој ефект, имплементацијата во FrontISTR повторно го ортогонализира секој вектор во однос на веќе добиените Lanczos базни вектори.

Геометриско толкување (Krylov потпростор)¶

Со воведување на следната промена на променливите во равенката $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

проблемот може да се препише како

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Со тоа се добива горната равенка.

За произволен ненулт вектор $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

просторот опфатен од овие вектори,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

се нарекува Krylov потпростор.

Lanczos методот последователно конструира база на овој Krylov потпростор.

FrontISTR го користи следниов внатрешен производ поврзан со матрицата на маса $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

за ортонормирање на базата. Внатрешниот производ $\langle x,y\rangle$ и нормата $\|x\|$ прикажани на следните слики во пресметките на FrontISTR се толкуваат како овој $M$-внатрешен производ и соодветната $M$-норма

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

соодветно.

Применете ја линеарната трансформација определена со матрицата $A$ врз произволен вектор $q_0$, како што е прикажано на слика 2.3.2.

$Линеарна трансформација со матрицата $A$ на $q_0$$

Слика 2.3.2 Линеарна трансформација со матрицата $A$ на $q_0$

Преобразениот вектор се ортогонализира во просторот што го опфаќа заедно со првичниот вектор. Поконкретно, се изведува Gram-Schmidt ортогонализација како што е прикажано на слика 2.3.3. Нека добиениот вектор е $r_1$; со негово нормализирање се добива $q_1$.

$Вектор ортогонален на $q_0$: $q_1$$

Слика 2.3.3 Вектор ортогонален на $q_0$: $q_1$

Со истата постапка од $q_1$ се добива $q_2$. Тука $q_2$ е ортогонален и на $q_1$ и на $q_0$, како што е прикажано на слика 2.3.4.

$Вектор ортогонален на $q_1$ и $q_0$: $q_2$$

Слика 2.3.4 Вектор ортогонален на $q_1$ и $q_0$: $q_2$

На овој начин Lanczos методот последователно конструира ортонормирана база на Krylov потпросторот. Теоретски, симетријата на проблемот на сопствени вредности овозможува оваа итерација да се изрази како тричлена рекурентна релација што ги вклучува најновите базни вектори.

Имплементацијата во FrontISTR, меѓутоа, го реортогонализира секој вектор во однос на веќе добиените Lanczos базни вектори со помош на $M$-внатрешниот производ, за да го потисне губењето на ортогоналноста предизвикано од аритметиката со конечна прецизност.

Тридијагонализација¶

Во Lanczos итерацијата на FrontISTR, базните вектори се ортонормираат во однос на $M$-внатрешниот производ опишан во претходниот дел, така што

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

важи горната релација.

Со матрицата $A$ од равенката $\eqref{eq:2.3.10}$, теоретската Lanczos итерација е

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

претставена со горната тричлена рекурентна релација.

Најпрво, $\alpha_i$ се дефинира на следниов начин.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Потоа, привремениот резидуал се дефинира како

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

што е прикажано погоре.

За да го потисне губењето на ортогоналноста предизвикано од аритметиката со конечна прецизност, имплементацијата во FrontISTR го реортогонализира $\tilde{r}_{i+1}$ во однос на веќе добиените Lanczos базни вектори со помош на $M$-внатрешниот производ. Ако $r_{i+1}$ е резидуалот по реортогонализацијата, тогаш

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

важат горните релации.

Соберете ги $m$-те базни вектори добиени со Lanczos итерацијата во

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Тогаш, по конечен број Lanczos итерации,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

важи горната релација.

Тука, $e_m$ е $m$-димензионален единичен вектор чија $m$-та компонента е 1, а сите други компоненти се нула, и

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

е симетрична тридијагонална матрица.

Оттука, сопствените вредности на првичниот голем проблем на сопствени вредности може да се приближат со пресметување на сопствените вредности на тридијагоналната матрица $T_m$.

Поврзани теми¶

Анализа на фреквентен одзив — Фреквентен одзив со резултати од модална анализа
Типови на анализа — Функционален преглед на модалната анализа