Прескокнете до содржината

Анализа на фреквентен одзив

Формулација на проблемот

Анализата на фреквентен одзив ги оценува амплитудата и фазата на стационарниот одзив на системот во фреквентниот домен кога надворешната сила хармониски се менува со времето. Бидејќи равенката на движење се третира различно со и без пригушување, ова поглавје прво ги изведува сопствените модови од слободни осцилации без пригушување, а потоа ги користи како модална база за развивање на пригушениот хармониски одзив.

Слободни осцилации без пригушување и сопствени модови

Кога пригушувањето се занемарува, равенката на движење е

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Со развивање на поместувањето по секој сопствен мод се добива

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Со замена на ова во равенката \(\eqref{eq:2.6.1}\) се добива

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Ова е генерализиран проблем на сопствени вредности. Нумеричките методи за негово решавање, вклучувајќи поместена инверзна итерација и Lanczos-метод, се обработени во Модална анализа. Овој дел ги сумира својствата на добиените сопствени фреквенции и сопствени модови што се користат во последователното развивање на хармонискиот одзив.

Реалност на сопствените фреквенции

Може да се покаже дека сопствената фреквенција е реална на следниов начин. Нека \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Со земање комплексно конјугирана форма на равенката \(\eqref{eq:2.6.3}\) се добива равенката \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Со множење со \(\overline{U}_J^T\) се добива

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Од равенката \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Бидејќи матрицата на маса е симетрична позитивно дефинитна, за ненулти сопствен вектор важи

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Затоа,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Оттука, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) е реална.

Ортогоналност и нормализација на сопствените модови

Разгледајте два различни мода.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Следува дека

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

и, кога сопствените вредности се различни,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Така, различните сопствени модови се ортогонални во однос на матрицата на маса. За истиот мод, нормализацијата во однос на матрицата на маса како во равенката \(\eqref{eq:2.6.12}\) го поедноставува понатамошниот третман.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Хармониски одзив со пригушување

Следно е прикажана формулацијата на анализата на фреквентен одзив со пригушување. Равенката на движење е дадена со равенката \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Се претпоставува Rayleigh-ов тип на членот за пригушување, изразен со равенката \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Користејќи ги сопствените вектори добиени од модалната анализа, векторот на поместување во време t може да се развие како во равенката \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Нека членот на надворешната сила има хармониска форма

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Тогаш го определуваме \(b_{j}(t)\). Бидејќи равенката на движење во равенката \(\eqref{eq:2.6.13}\) има форма на принудни осцилации,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

важи. Реалниот и имагинарниот дел на коефициентот на развивање \(b_{j}(t)\) се дадени со равенките \(\eqref{eq:2.6.18}i\) и \(\eqref{eq:2.6.19}\), соодветно.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Со тоа се добиваат бараните коефициенти на хармонискиот одзив.

Поврзани теми