Прескокнете до содржината

Нестационарна анализа на спроведување на топлина

Овде се прикажуваат временската дискретизација и итеративниот метод за решавање при анализа на спроведување на топлина на цврсти тела со методот на конечни елементи (Finite Element Method). За равенките на управување и граничните услови во континуумот, видете Равенка за спроведување на топлина.

Дискретизирана равенка (почетна точка)

Кога равенката за спроведување на топлина (равенка (gov_he_main) од Равенката за спроведување на топлина) се дискретизира со Galerkin-овиот метод,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

при што,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Тука, \(K\), \(M\), \(F\) и \(N\) се, соодветно, матрицата за спроведување на топлина (вклучувајќи ги конвективните и радијациските членови од граничните придонеси), матрицата на маса, векторот на топлинско оптоварување и матрицата на облик-функции. Дефинициите на симболите за материјалните својства (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) итн.) се според Равенката за спроведување на топлина.

Временска дискретизација и итеративен метод за решавање

Равенката \(\eqref{eq:2.4.8}\) е нелинеарна и нестационарна равенка. Ако таа се дискретизира по време со методот на назаден Euler и температурата во моментот \(t=t_0\) е позната, температурата во моментот \(t=t_0+\Delta t\) се пресметува со следната равенка.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Да разгледаме подобрување на температурниот вектор \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), кој приближно ја задоволува равенката \(\eqref{eq:2.4.13}\), за да се добие попрецизно решение \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

За таа цел, најпрво температурниот вектор се изразува како

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Производот на матрицата за спроведување на топлина и температурниот вектор, матрицата на маса и другите величини приближно се изразуваат како што следува.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Со замена на равенките \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) и \(\eqref{eq:2.4.16}\) во равенката \(\eqref{eq:2.4.13}\), и занемарување на членовите од втор и повисок ред, се добива

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Понатаму, матрицата на коефициенти на левата страна приближно се оценува со следната равенка.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Тука \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) е тангентната матрица на крутост.

На крај, температурата во моментот \(t=t_0+\Delta t\) може да се пресмета со итеративна пресметка со следната равенка.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Особено, при стационарна анализа итеративната пресметка се изведува со следната равенка.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

При нестационарна анализа, бидејќи за временската дискретизација се применува имплицитен метод, изборот на временскиот прираст \(\Delta t\) генерално не е ограничен од неговата големина. Меѓутоа, ако временскиот прираст \(\Delta t\) е преголем, бројот на итерации потребни за конвергенција се зголемува. Општо, ако временскиот прираст \(\Delta t\) е преголем, бројот на итерации се зголемува. Во имплементацијата се следи големината на резидуалниот вектор; ако конвергенцијата е бавна, \(\Delta t\) се намалува, а ако бројот на итерации е мал, \(\Delta t\) се зголемува со автоматска контрола на прирастот (→ за детали видете Контрола на чекор).

Поврзани теми