Прескокнете до содржината

Верификација со модел со едноставна форма

Еластична статичка анализа

Во оваа верификација се користи конзолна греда со мрежа прикажана на Слика 9.1.1. Анализите се извршени за седум случаи, од exA до exG, со различни услови на оптоварување како што е прикажано на Слика 9.1.2. Случајот exG ги има истите услови на оптоварување како exA, но користи директен решавач.

Резултатите од верификацијата за секој услов на оптоварување се прикажани во Табелите 9.1.1–9.1.7.

Пример на мрежа на конзолна греда (хексаедарски елементи) Сл. 9.1.1 Пример на мрежа на конзолна греда (хексаедарски елементи)
(a) exA, G: Концентрирано оптоварување
(b) exD: Гравитација
(c) exB: Површински распределено оптоварување
(d) exE: Центрифугална сила
(e) exC: Волуменско оптоварување
(f) exF : Топлинско оптоварување
Ставка Вредност
Јунгов модул \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Должина \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Поасонов коефициент \(\nu = 0.3\)
Површина на напречен пресек \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Густина на маса \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Втор момент на површина \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Гравитациско забрзување \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Коефициент на линеарно топлинско ширење \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Слика 9.1.2　Услови за верификација на моделот на конзолна греда

Табела 9.1.1: exA: Резултати од верификацијата на проблемот со концентрирано оптоварување

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : \(\delta_{max}= -1.000\) Забелешки
NASTRAN Комерцијален софтвер FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 јазли
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 јазли
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 јазли
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 јазли
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 јазли
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 јазли
A731 40 - - -0.991 33 јазли / директен метод
A741 20 - - -0.996 33 јазли / директен метод

Табела 9.1.2: exB: Резултати од верификацијата на проблемот со површински распределено оптоварување

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : \(\delta_{max}= -3.750\) Забелешки
NASTRAN Комерцијален софтвер FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 јазли
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 јазли
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 јазли
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 јазли
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 јазли
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 јазли
B731 40 - - -3.722 33 јазли / директен метод
B741 20 - - -3.743 33 јазли / директен метод

Табела 9.1.3: exC: Резултати од верификацијата на проблемот со волуменско оптоварување

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Забелешки
NASTRAN Комерцијален софтвер FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 јазли
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 јазли
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 јазли
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 јазли
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 јазли
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 јазли
C731 40 - - -2.922e-5 33 јазли / директен метод
C741 20 - - -2.938e-5 33 јазли / директен метод

Табела 9.1.4: exD: Резултати од верификацијата на проблемот со гравитација

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Забелешки
NASTRAN Комерцијален софтвер FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 јазли
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 јазли
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 јазли
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 јазли
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 јазли
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 јазли
D731 40 - - -2.922e-5 33 јазли / директен метод
D741 20 - - -2.938e-5 33 јазли / директен метод

Табела 9.1.5: exE: Резултати од верификацијата на проблемот со центрифугална сила

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Забелешки
NASTRAN Комерцијален софтвер FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 јазли
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 јазли
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 јазли
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 јазли
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 јазли
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 јазли
E731 40 - - 2.619e-3 33 јазли / директен метод
E741 20 - - 2.622e-3 33 јазли / директен метод

Табела 9.1.6: exF: Резултати од верификацијата на проблемот со оптоварување од топлинско напрегање

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Забелешки
NASTRAN Комерцијален софтвер FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 јазли
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 јазли
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 јазли
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 јазли
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 јазли
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 јазли

Табела 9.1.7: exG: Резултати од верификацијата на директниот метод (проблем со концентрирано оптоварување)

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност: δmax= -1.000 Забелешки
NASTRAN Комерцијален софтвер FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 јазли
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 јазли
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 јазли
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 јазли
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 јазли
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 јазли
G731 40 - - -0.991 33 јазли / директен метод
G741 20 - - -0.996 33 јазли / директен метод

Нелинеарна статичка анализа

(2-1) exnl1: Геометриски нелинеарна анализа

Моделот за верификација за случајот exI е идентичен со моделите за случаите exA до exG. Слика 9.1.3 прикажува шематски приказ на моделот за верификација. На овој модел се извршува геометриски нелинеарна анализа. Резултатите од верификацијата се прикажани во Табела 9.1.8.

Нелинеарната пресметка се изведува за референтно оптоварување \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), со прираст на оптоварувањето \(0.1P\) во 10 чекори.

Модел за верификација Сл. 9.1.3 Модел за верификација

Табела 9.1.8 exI: Резултати од верификацијата (историја на максималното отклонување)

Име на случај 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Линеарно решение
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Анализа на еластопластична деформација

Овој проблем за верификација се заснова на тестот NL1 на National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) од NAFEMS, и изведува анализа на еластопластична деформација што вклучува геометриска нелинеарност и повеќе закони на зацврстување. Слика 9.1.4 го прикажува моделот за анализа.

Модел за анализа на еластопластична деформација

Сл. 9.1.4 Модел за анализа на еластопластична деформација

(1) Услови за верификација

Ставка Вредност
Материјал Мизесов еластопластичен материјал
Јунгов модул \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Поасонов коефициент \(\nu=0.25\)
Почетно напрегање на течење \(5\ \mathrm{MPa}\)
Почетна деформација на течење \(0.25\times10^{-4}\)
Коефициент на изотропно зацврстување \(H_i = 0\) или \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Гранични услови

Ставка Граничен услов Вредност
Чекор 1 Зададено поместување на јазлите 2 и 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Чекор 2 Зададено поместување на јазлите 2 и 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Чекор 3 Зададено поместување на јазлите 3 и 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Чекор 4 Зададено поместување на јазлите 3 и 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Чекор 5 Зададено поместување на јазлите 2 и 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Чекор 6 Зададено поместување на јазлите 2 и 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Чекор 7 Зададено поместување на јазлите 3 и 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Чекор 8 Зададено поместување на јазлите 3 и 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Сите јазли што не се наведени тука се целосно ограничени. Теоретското решение за овој проблем е следново.

Деформација (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Еквивалентно напрегање (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

За споредба, резултатите од пресметката се следниве.

Деформација (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Еквивалентно напрегање (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Контактна анализа (1)

Овој проблем за верификација се заснова на проблемот CGS-4 за тестирање на контактна површина на National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), и ја тестира способноста за контакт со конечно лизгање со триење. Слика 9.1.5 го прикажува моделот за анализа.

Модел за контактна анализа

Сл. 9.1.5 Модел за контактна анализа

Условот за рамнотежа за овој проблем е следново.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

Во фазата на прилепено триење, силата на триење е

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

а во фазата на лизгачко триење е

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

.

Споредбата меѓу резултатите од пресметката и аналитичкото решение е следнава.

\(\mu\) \(F/G\) Аналитичко решение \(F/G\) Резултати од пресметката
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Контактна анализа (2): Херцов контактен проблем

Во оваа верификација се анализира Херцовиот контактен проблем меѓу бесконечно долг цилиндар и бесконечна рамнина. Радиусот на цилиндарот е \(R = 8\ \mathrm{mm}\), а Јунговиот модул \(E\) и Поасоновиот коефициент \(\mu\) на деформабилното тело се \(1100\ \mathrm{MPa}\) и \(0.0\), соодветно. Се претпоставува дека контактната површина е доволно мала во споредба со радиусот на цилиндарот и, земајќи ја предвид симетријата на проблемот, се анализира модел од четвртина цилиндар.

Модел за анализа на Херцовиот контактен проблем Сл. 9.1.6 Модел за анализа на Херцовиот контактен проблем

(1) Резултати од верификацијата на радиусот на контакт

Теоретската формула за пресметување на радиусот на контакт е следнава:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

каде што

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

. При тековните услови на пресметка, кога притисокот е \(F=100\), радиусот на контакт е \(a=1.36\).

Слика 9.1.7 ги прикажува еквивалентните јазолни сили во контактните точки. Радиусот на контакт се добива со екстраполација на оваа распределба на јазолните сили.

Распределба на еквивалентните јазолни сили во контактните точки

Сл. 9.1.7 Распределба на еквивалентните јазолни сили во контактните точки

(2) Резултати од верификацијата на максималното смолкнувачко напрегање

Во теоретското решение, во контактната положба

\[ z = 0.78a \]

максималното смолкнувачко напрегање е

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

. При тековните услови на пресметка,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

. За споредба, пресметката дава

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

.

Распределба на смолкнувачко напрегање (максимална вредност = 15.6 Сл. 9.1.8 Распределба на смолкнувачко напрегање (максимална вредност = 15.6)

(3) Модална анализа

Моделите за верификација за случаите exJ и exK се идентични со моделите за случаите exA до exG. Слика 9.1.9 прикажува шематски приказ на моделот за верификација. На овој модел се извршува модална анализа. Се пресметуваат првите три сопствени фреквенции. Случајот exJ користи итеративен решавач, додека случајот exK користи директен решавач. Резултатите од верификацијата се прикажани во Табелите 9.1.9 до 9.1.12.

Модел за верификација Сл. 9.1.9 Модел за верификација

Сопствените фреквенции на конзолната греда се добиваат од следните равенки.

Прв мод

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Втор мод

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Трет мод

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Вредностите на својствата на моделот за верификација се

Ставка Вредност
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Оттука, првите три сопствени фреквенции се следниве:

Број на мод Вредност
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Табела 9.1.9: exJ: Резултати од верификацијата на итеративниот метод за првата сопствена фреквенција

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : n1=3.609e3 Забелешки
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 јазли
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 јазли
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 јазли
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 јазли
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 јазли
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 јазли

Табела 9.1.10: Резултати од верификацијата на итеративниот метод за exJ со втората сопствена фреквенција

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : n2=2.262e4 Забелешки
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 јазли
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 јазли
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 јазли
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 јазли
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 јазли
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 јазли

Забелешка: Во тридимензионалните модели, првиот и вториот мод се дегенерирани. Затоа третата пресметана сопствена фреквенција е прикажана во табелата како втора сопствена фреквенција.

Табела 9.1.11: Резултати од верификацијата на директниот метод за exK со првата сопствена фреквенција

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : n1=3.609e3 Забелешки
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 јазли
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 јазли
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 јазли
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 јазли
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 јазли
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 јазли
J731 40 - 3.606e3 220 јазли
J741 20 - 3.594e3 220 јазли

Табела 9.1.12: Резултати од верификацијата на директниот метод за exK со втората сопствена фреквенција

Име на случај Број на елементи Предвидена вредност : n2=2.262e4 Забелешки
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 јазли / проблем со рамнинско напрегање
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 јазли
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 јазли
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 јазли
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 јазли
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 јазли
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 јазли
J731 40 - 2.156e4 220 јазли
J741 20 - 2.153e4 220 јазли

Забелешка: Во тридимензионалните модели, првиот и вториот мод се дегенерирани. Затоа третата пресметана сопствена фреквенција е прикажана во табелата како втора сопствена фреквенција.

(4) Анализа на спроведување на топлина

Заедничките услови за стационарните анализи на спроведување на топлина се прикажани на Слика 9.1.10. Поединечните услови за случаите на верификација exM до exT се прикажани на Слика 9.1.11. Поделбата на мрежата е еквивалентна на онаа што се користи за exA.

Резултатите од верификацијата (табела на распределба на температурата) за секој случај се прикажани во Табелите 9.1.13–9.1.20.

Анализа на спроведување на топлина
Должина меѓу AB \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Површина на напречен пресек \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Температурна зависност на топлинската спроводливост

Топлинска спроводливост \(\lambda\) (W/(m·K)) Температура (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Сл. 9.1.10: Услови за верификација на стационарна анализа на спроведување на топлина
exM: Линеарен материјал
exN: Проблем со зададена температура
exO: Проблем со концентриран топлински флукс
exP: Проблем со распределен топлински флукс
exQ: Проблем со конвективен пренос на топлина
exR: Проблем со радијативен пренос на топлина
exS: Проблем со волуменско генерирање топлина
exT: Проблем со внатрешен процеп

Сл. 9.1.11: Услови за анализа за секој случај на верификација

Табела 9.1.13: Резултати од верификацијата на exM (стационарна пресметка на линеарен материјал)

Име на случај Тип на елемент Елементи/јазли Растојание од крај A (m)
Крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 Крај B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Табела 9.1.14: Резултати од верификацијата на exN (проблем со зададена температура)

Име на случај Тип на елемент Елементи/јазли Растојание од крај A (m)
Крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 Крај B
Комерцијален софтвер 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Табела 9.1.15: Резултати од верификацијата на exO (проблем со концентриран топлински флукс)

Име на случај Тип на елемент Елементи/јазли Растојание од крај A (m)
Крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 Крај B
Комерцијален софтвер 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Табела 9.1.16: Резултати од верификацијата на exP (проблем со распределен топлински флукс)

Име на случај Тип на елемент Елементи/јазли Растојание од крај A (m)
Крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 Крај B
Комерцијален софтвер 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Табела 9.1.17: Резултати од верификацијата на exQ (проблем со конвективен пренос на топлина)

Име на случај Тип на елемент Елементи/јазли Растојание од крај A (m)
Крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 Крај B
Комерцијален софтвер 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Табела 9.1.18: Резултати од верификацијата на exR (проблем со радијативен пренос на топлина)

Име на случај Тип на елемент Елементи/јазли Растојание од крај A (m)
Крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 Крај B
Комерцијален софтвер 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Табела 9.1.19: Резултати од верификацијата на exS (проблем со волуменско генерирање топлина)

Име на случај Тип на елемент Елементи/јазли Растојание од крај A (m)
Крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 Крај B
Комерцијален софтвер 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Табела 9.1.20: Резултати од верификацијата на exT (проблем со внатрешен процеп)

Име на случај Тип на елемент Елементи/јазли Растојание од крај A (m)
Крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 Крај B
Комерцијален софтвер 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Линеарна динамичка анализа

Во exW се извршува линеарна динамичка анализа на истата конзолна греда како во точка (1). Слика 9.1.12 ги прикажува условите за верификација. За истата поделба на мрежата се проверува влијанието на временскиот прираст врз резултатите. Се користат и имплицитен и експлицитен метод на временска интеграција, со типови на елементи 361 и 342. Резултатите од верификацијата се прикажани во Табела 9.1.22 и Сликите 9.1.13 до 9.1.15.

Модел за анализа Модел за анализа

Временска историја на надворешната сила F Временска историја на надворешната сила F

Теоретското решение за поместувањето на точката на возбудување е следново:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

каде што

\[ \(F_0:\ \text{константен вектор}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Сл. 9.1.12: Услови за верификација на линеарната динамичка анализа

Услови за верификација:
Должина \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Ширина на напречен пресек \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Висина на напречен пресек \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Јунгов модул \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Поасонов коефициент \(\nu\) \(0.3\)
Густина \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Гравитациско забрзување \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Надворешна сила \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Елемент Линеарен хексаедарски елемент
Тетраедарски елемент од втор ред
Решение Имплицитен метод
Метод Newmark-\(\beta\): параметар \(\gamma\) 1/2
Параметар \(\beta\) на методот Newmark-\(\beta\) 1/4
Експлицитен метод
Придушување Нема

Табела 9.1.21: Услови за верификација на линеарната динамичка анализа (продолжение)

Име на случај Тип на елемент Број на јазли Број на елементи Метод Временски прираст \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Имплицитен метод 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Имплицитен метод 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Имплицитен метод 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Имплицитен метод 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Имплицитен метод 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Имплицитен метод 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Експлицитен метод 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Експлицитен метод 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Експлицитен метод 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Експлицитен метод 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Експлицитен метод 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Експлицитен метод 1.0E-07

Табела 9.1.22: Резултати од верификацијата на линеарната динамичка анализа на exW (конзола)

Име на случај Тип на елемент Број на јазли Број на елементи Метод поместување во z-насока во време \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Имплицитен метод 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Имплицитен метод 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Имплицитен метод 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Имплицитен метод 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Имплицитен метод 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Имплицитен метод 1.9753 Дивергира
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Експлицитен метод 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Експлицитен метод 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Експлицитен метод 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Експлицитен метод 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Експлицитен метод 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Експлицитен метод 1.9753 Дивергира

Дијаграм на деформација и распределба на еквивалентното напрегање на конзолата Сл. 9.1.13: Дијаграм на деформација и распределба на еквивалентното напрегање на конзолата

(a) Тип на елемент 361 : Имплицитен метод (a) Тип на елемент 361 : Имплицитен метод

(b) Тип на елемент 361 : Експлицитен метод (b) Тип на елемент 361: Експлицитен метод

Сл. 9.1.14: Временска историја на поместувањето \(u_z\) на точката на возбудување

(a) Тип на елемент 342: Имплицитен метод (a) Тип на елемент 342: Имплицитен метод

(b) Тип на елемент 342: Експлицитен метод (b) Тип на елемент 342: Експлицитен метод

Сл. 9.1.15: Временска историја на поместувањето \(u_z\) на точката на возбудување

Анализа на фреквентен одзив

Во оваа верификација се извршува анализа на фреквентен одзив на конзолна греда и резултатите се проверуваат со споредба со резултатите од комерцијален софтвер за општа намена. Моделот за анализа и условите за верификација се прикажани подолу.

Услови за анализа:
Јунгов модул \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Поасонов коефициент \(\nu\) \(0.3\)
Густина \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Гравитациско забрзување \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Оптоварување \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Параметар на Рејлиево придушување \(R_m\) \(0.0\)
Параметар на Рејлиево придушување \(R_k\) \(7.2E-07\)

Сл. 9.1.16 : Модел за анализа (тетраедарски елемент од прв ред (126 елементи и 55 јазли))

Првите пет сопствени фреквенции добиени од модалната анализа и фреквентниот одзив на точката на возбудување се следниве:

мод FrontISTR Комерцијален софтвер
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Фреквентна зависност на амплитудата на поместувањето на точката на возбудување Сл. 9.1.17: Фреквентна зависност на амплитудата на поместувањето на точката на возбудување