Skip to content

രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് സ്റ്റാറ്റിക് വിശകലനം (ആമുഖം)

ഇവിടെ ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഇലാസ്റ്റിക് സ്റ്റാറ്റിക് വിശകലനത്തിന്റെ സൂത്രവത്കരണം അവതരിപ്പിക്കുന്നു. സ്ട്രെസ്-സ്ട്രെയിൻ ബന്ധമായി രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി അനുമാനിക്കുന്നു. പരിമിത എലമെന്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘടനാപര വിശകലനത്തിന്റെ സമഗ്ര രൂപം മനസ്സിലാക്കാനുള്ള ആമുഖമായാണ് ഈ അധ്യായം ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്; ഒരു അധ്യായം കൊണ്ടുതന്നെ പൂർണ്ണമായി വായിക്കാവുന്ന രീതിയിലാണ് ഘടന.

വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുവായ രൂപം (നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ, പ്രാരംഭ കോൺഫിഗറേഷൻ, ചെറിയ രൂപവ്യതിയാനത്തിലേക്കുള്ള ലഘൂകരണം) വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തം, രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് ഘടനാസമവാക്യത്തിന്റെ വിശദാംശങ്ങൾ രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി, ടെൻസർ നോട്ടേഷൻ / Voigt നോട്ടേഷൻ നിയമങ്ങൾ ടെൻസർ നോട്ടേഷനും ഗണിത അടിസ്ഥാനങ്ങളും, പരിമിത രൂപവ്യതിയാനത്തിന്റെ പൊതുവായ സൂത്രവത്കരണം ചലനം, രൂപവ്യതിയാനം, സ്ട്രെയിൻ, അരേഖീയ പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരരീതി ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ് എന്നിവ കാണുക.

അടിസ്ഥാന സമവാക്യങ്ങൾ

ചെറിയ രൂപവ്യതിയാനവും രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റിയും അനുമാനിക്കുന്ന സോളിഡ് മെക്കാനിക്സിലെ ബൗണ്ടറി വാല്യു പ്രശ്നം സമതുല്യതാ സമവാക്യം, മെക്കാനിക്കൽ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥ, ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥ (അടിസ്ഥാന അതിർത്തി വ്യവസ്ഥ) എന്നിവകൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 2.1.1 കാണുക):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

ഇവിടെ \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy സ്ട്രെസ്, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) യൂണിറ്റ് വോള്യത്തിനുള്ള ബോഡി ഫോഴ്‌സ്, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) ഉപരിതലബലം (നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) നിർദ്ദിഷ്ട സ്ഥാനചലനം, \(S_t, S_u\) യഥാക്രമം മെക്കാനിക്കൽ അതിരും ജ്യാമിതീയ അതിരുമാണ്.

സോളിഡ് മെക്കാനിക്സിലെ ബൗണ്ടറി വാല്യു പ്രശ്നം (ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന പ്രശ്നം)

ചിത്രം 2.1.1 സോളിഡ് മെക്കാനിക്സിലെ ബൗണ്ടറി വാല്യു പ്രശ്നം (ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന പ്രശ്നം)

സ്ട്രെയിൻ-സ്ഥാനചലന ബന്ധസമവാക്യം സിമെട്രിക് ഗ്രേഡിയന്റ് ഓപ്പറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് ഘടനാസമവാക്യം

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

എന്ന് നൽകപ്പെടുന്നു (\(\boldsymbol{C}\) നാലാം-ഓർഡർ ഇലാസ്റ്റിക് ടെൻസറാണ്).

വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തം

വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുരൂപം (നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ, പ്രാരംഭ കോൺഫിഗറേഷൻ, ചെറിയ രൂപവ്യതിയാനത്തിലേക്കുള്ള ലഘൂകരണം) വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തം എന്ന അധ്യായത്തിൽ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. ചെറിയ രൂപവ്യതിയാനവും രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റിയും അനുമാനിക്കുമ്പോൾ ദുർബല രൂപം

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

ആണ്. ഘടനാസമവാക്യം \eqref{eq:2.1.5} പകരംവെച്ച് Voigt നോട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) എന്ന് എഴുതിയാൽ, ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷനിൽ നേരിട്ട് ഉപയോഗിക്കുന്ന രൂപം

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

ലഭിക്കുന്നു (\(D\) രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി എന്നതിലെ ഇലാസ്റ്റിക് മാട്രിക്സാണ്). സമവാക്യം \eqref{eq:2.1.10} ഉം സമവാക്യം \eqref{eq:2.1.7} ഉം താഴെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസ് ചെയ്യുന്ന വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തമാണ്.

ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷനും ഗ്ലോബൽ സമവാക്യത്തിന്റെ അസംബ്ലിയും

വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിലെ സമവാക്യം \( \eqref{eq:2.1.10} \) ഓരോ പരിമിത എലമെന്റിനും ഡിസ്ക്രിറ്റൈസ് ചെയ്താൽ താഴെപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

ഓരോ എലമെന്റിനും, അതിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന നോഡുകളുടെ സ്ഥാനചലനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥാനചലന ഫീൽഡ് താഴെപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഇന്റർപൊളേറ്റ് ചെയ്യുന്നു.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

ഈ സമയത്ത് സ്ട്രെയിൻ, സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.4}\) ഉപയോഗിച്ച് താഴെപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.12}\), സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.13}\) എന്നിവ സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.11}\) ൽ പകരംവെച്ചാൽ താഴെപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.14}\) താഴെപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സംഗ്രഹിക്കാം.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

ഇവിടെ, സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.16}\), സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.17}\) എന്നിവയിൽ നിർവചിക്കുന്ന മാട്രിക്സിന്റെയും വെക്റ്ററിന്റെയും ഘടകങ്ങൾ ഓരോ പരിമിത എലമെന്റിനും കണക്കാക്കി കൂട്ടിച്ചേർക്കാം.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.15}\) ഏതൊരു വിർച്വൽ സ്ഥാനചലനം \(\delta \boldsymbol{U}\) നും സാധുവായതിനാൽ താഴെപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

മറുവശത്ത്, സ്ഥാനചലന അതിർത്തി വ്യവസ്ഥയായ സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.3}\) താഴെപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.18}\) നിയന്ത്രണ നിബന്ധനയായ സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.1.19}\) ന്റെ കീഴിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നോഡൽ സ്ഥാനചലനം \(\boldsymbol{U}\) നിർണ്ണയിക്കാം.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ