Skip to content

രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി

ഈ അധ്യായത്തിൽ രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് മെറ്റീരിയലുകളുടെ ഘടനാസമവാക്യം (Hooke നിയമം) കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. ഉപയോഗവ്യത്യാസങ്ങളും ഇൻപുട്ട് നിർദ്ദേശങ്ങളുടെ വിശദാംശങ്ങളും ഫംഗ്ഷൻ വിഭാഗത്തിലെ 03_material കാണുക.

പ്രതിഭാസം (രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് പ്രതികരണം)

രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് ദ്രവ്യം എന്നത്, ലോഡിന് കീഴിൽ സ്ട്രെയിൻ മതിയായത്ര ചെറുതായ പരിധിയിൽ സ്ട്രെസും സ്ട്രെയിനും രേഖീയബന്ധത്തിൽ നിലനിൽക്കുകയും ലോഡ് നീക്കിയാൽ എല്ലാ സ്ട്രെയിനും പൂർണ്ണമായി പഴയ നിലയിലേക്ക് മടങ്ങുകയും ചെയ്യുന്ന, തിരിച്ചുപോകാവുന്നതും ചരിത്രാശ്രിതമല്ലാത്തതുമായ പ്രതികരണം കാണിക്കുന്ന മെറ്റീരിയലാണ്. പ്ലാസ്റ്റിസിറ്റിയിലും ക്രീപ്പിലും നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, അവസ്ഥയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ആന്തരിക സ്റ്റേറ്റ് ചരങ്ങൾ (പ്ലാസ്റ്റിക് സ്ട്രെയിൻ, വിസ്കസ് സ്ട്രെയിൻ മുതലായവ) ഇതിന് ഇല്ല; സ്ട്രെസ് നിലവിലെ സ്ട്രെയിൻ മാത്രം കൊണ്ട് ഏകമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന പരിധിയിൽ Cauchy സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{\sigma}\) ഉം ചെറിയ സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ഉം ഉപയോഗിക്കുന്നു. പരിമിത രൂപവ്യതിയാന പരിധിയിൽ (വലിയ ഭ്രമണം ഉൾപ്പെടുന്നെങ്കിലും സ്ട്രെയിൻ തന്നെ ചെറുതായ പ്രശ്നങ്ങൾ) രണ്ടാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\) ഉം Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{E}\) ഉം ഉപയോഗിക്കുന്നു (St.Venant-Kirchhoff മെറ്റീരിയൽ).

ഘടനാസമവാക്യം

ഐസോട്ട്രോപിക് രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് ദ്രവ്യം

ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന പരിധിയിലെ ഐസോട്ട്രോപിക് Hooke നിയമം Lamé സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ \(\lambda, \mu\) ഉപയോഗിച്ച്

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

എന്ന് എഴുതാം. ഘടക രൂപത്തിൽ

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ആകുന്നു; സ്ട്രെയിനുമായി ഡബിൾ കോൺട്രാക്ഷൻ ചെയ്താൽ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ലഭിക്കുന്നു. Lamé സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ യങ്ങ് മോഡുലസ് \(E\) ഉം പൊയ്സൺ അനുപാതം \(\nu\) ഉം തമ്മിൽ താഴെപ്പറയുന്ന ബന്ധമുണ്ട്:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt നോട്ടേഷനിൽ സ്ട്രെയിൻ വെക്റ്റർ \(\hat{\varepsilon}\) ഉം സ്ട്രെസ് വെക്റ്റർ \(\hat{\sigma}\) ഉം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) എന്ന് എഴുതാം; 3D മെറ്റീരിയൽ മാട്രിക്സ് \(D\) താഴെപ്പറയുന്ന രൂപത്തിലാണ്:

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(നടപ്പാക്കലിൽ ഈ മാട്രിക്സ് പ്രതിനിധാനം ഉപയോഗിക്കുന്നു).

ഓർത്തോട്രോപിക് രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് ദ്രവ്യം

പ്രധാന അക്ഷദിശകളിൽ ഇലാസ്റ്റിക് സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായ മെറ്റീരിയലുകൾക്ക് 9 സ്വതന്ത്ര സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുള്ള ഓർത്തോട്രോപിക് മോഡൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു: പ്രധാന അക്ഷദിശകളിലെ യങ്ങ് മോഡുലസ് \(E_1, E_2, E_3\), പ്രധാന അക്ഷങ്ങൾക്കിടയിലെ പൊയ്സൺ അനുപാതങ്ങൾ \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), ഷിയർ മോഡുലസ് \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). പ്രത്യേക \(D\) മാട്രിക്സ് രൂപത്തിന് പൊതുവായ റഫറൻസുകൾ കാണുക.

പരിമിത രൂപവ്യതിയാന പരിധി: St.Venant-Kirchhoff മെറ്റീരിയൽ

വലിയ ഭ്രമണം ഉൾപ്പെടുന്നെങ്കിലും സ്ട്രെയിൻ തന്നെ ചെറുതായ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, രണ്ടാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\) ഉം Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{E}\) ഉം തമ്മിലുള്ള രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് നിയമമായി St.Venant-Kirchhoff മെറ്റീരിയൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ \(\lambda, \mu\) എന്നവയുടെ നിർവചനം ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന സാഹചര്യത്തേതു തന്നെയാണ്. എന്നാൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന സ്ട്രെസ്-സ്ട്രെയിൻ നിർവചനജോടി വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ ഇത് ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന Hooke നിയമത്തിൽ നിന്ന് വേറിട്ട ഘടനാസമവാക്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഹൈപ്പോഇലാസ്റ്റിക് മെറ്റീരിയൽ

Updated Lagrange രീതിയിൽ, റിലേറ്റീവ് Kirchhoff സ്ട്രെസ് ടെൻസറിന്റെ Jaumann നിരക്ക് \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ഉം രൂപവ്യതിയാന നിരക്ക് ടെൻസർ \(\boldsymbol{D}\) ഉം തമ്മിലുള്ള രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് നിയമം

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

ഉപയോഗിക്കുന്ന ഹൈപ്പോഇലാസ്റ്റിക് മെറ്റീരിയൽ സ്വീകരിക്കുന്നു. ഇവിടെയും Lamé സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള \(\boldsymbol{C}\) ന്റെ നിർവചനം മുകളിലുള്ളതുതന്നെയാണ്; എന്നാൽ സ്ട്രെസ്-സ്ട്രെയിൻ ജോടി വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ ഇത് വേറിട്ട ഘടനാസമവാക്യമാണ്. സമയ സമാകലന നടപടിക്രമം (ഫോർവേഡ് Euler സമാകലനം, കേന്ദ്ര-വ്യത്യാസ സന്നികടനം) ഉപയോഗിച്ച് \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്ന വിശദാംശങ്ങൾക്ക് tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex കാണുക.

2D വിശകലനത്തിനും ഷെൽ എലമെന്റുകൾക്കുമുള്ള ലഘൂകരണം

പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസ് (\(\sigma_{33} = 0\))

മെലിഞ്ഞ പ്ലേറ്റുകളിലോ ഷെല്ലുകളിലോ ഉള്ള ലോഡിംഗ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസിൽ \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) എന്ന് അനുമാനിക്കുകയും ഔട്ട്-ഓഫ്-പ്ലെയിൻ സ്ട്രെയിൻ ഘടകം \(\varepsilon_{33}\) ആൽജിബ്രികമായി ഒഴിവാക്കിയ \(D\) ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

പ്ലെയിൻ സ്ട്രെയിൻ (\(\varepsilon_{33} = 0\))

കട്ടിയുദ്ദിശയിൽ നിയന്ത്രിക്കപ്പെട്ട ദീർഘമായ ഘടനയുടെ ക്രോസ്-സെക്ഷൻ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പ്ലെയിൻ സ്ട്രെയിനിൽ \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) എന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

അക്ഷസമമിതി

സിലിണ്ട്രിക്കൽ കോഓർഡിനേറ്റുകൾ \((r, \theta, z)\) ൽ \(\theta\) ദിശയിൽ ഏകസമമായ പ്രശ്നങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന അക്ഷസമമിതി വിശകലനത്തിൽ, \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) ഉം \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ഉം എന്നീ നാല് ഘടകങ്ങൾ നിലനിർത്തി,

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ലഭിക്കുന്നു.

ഷെൽ എലമെന്റ് (പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസ് + ട്രാൻസ്‌വേഴ്‌സ് ഷിയർ)

ഷെൽ എലമെന്റുകളിൽ ഇൻ-പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസിനെ പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. കൂടാതെ ട്രാൻസ്‌വേഴ്‌സ് ഷിയർ സ്ട്രെയിൻ ഘടകങ്ങളായ \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) ന് ഷിയർ തിരുത്തൽ ഗുണകം \(\kappa\) (സാധാരണയായി \(\kappa = 5/6\)) ചേർത്ത \(\kappa\, G\) ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഓരോ എലമെന്റിന്റെയും വിശദ സൂത്രവത്കരണത്തിന് ഉന്നത എലമെന്റ് സൂത്രവത്കരണം കാണുക. ഫംഗ്ഷൻ വിഭാഗത്തിലെ 03_material ൽ കാണുന്ന “ഷെൽ എലമെന്റുകൾ രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി മാത്രം പിന്തുണയ്ക്കുന്നു” എന്ന സ്പെസിഫിക്കേഷൻ, ഇൻ-പ്ലെയിൻ അവസ്ഥയെ പ്ലെയിൻ സ്ട്രെസായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന ഈ ലഘൂകരണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയതാണ്.

താപനില ആശ്രിതത്വം

യങ്ങ് മോഡുലസ് \(E\), പൊയ്സൺ അനുപാതം \(\nu\), രേഖീയ താപവികാസ ഗുണകം \(\alpha\) എന്നിവ സാധാരണയായി താപനില \(T\) ന്റെ ഫംഗ്ഷനുകളായി നിർദ്ദേശിക്കപ്പെടുന്നു. FrontISTR-ൽ പരിമിതമായ താപനില പോയിന്റുകളുടെ നിര \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) നു അനുബന്ധമായ മൂല്യങ്ങൾ ഇൻപുട്ട് ചെയ്യുന്നു; കണക്കുകൂട്ടലിനിടയിലെ താപനില \(T\) ന് സമീപമുള്ള രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കിടയിലെ രേഖീയ ഇന്റർപൊളേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. പരിധിക്ക് പുറത്തുള്ള താപനിലകൾക്ക് (\(T < T_1\) അല്ലെങ്കിൽ \(T > T_n\)) ഏറ്റവും അടുത്ത അറ്റമായ \(T_1\) അല്ലെങ്കിൽ \(T_n\) ന്റെ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്ട്രാപൊളേറ്റ് ചെയ്യുന്നു (സ്ഥിര എക്സ്ട്രാപൊളേഷൻ).

താപ, താപചാലന ഗുണങ്ങളുടെ (സാന്ദ്രത, വിശിഷ്ട താപം, താപചാലകത) താപനില ആശ്രിതത്വത്തിന് താപ ഗുണങ്ങൾ കാണുക. ഇന്റർപൊളേഷൻ നിയമങ്ങൾ ഇവയ്ക്കും ഒരുപോലെയാണ്.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ