Skip to content

ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളും ഫിനൈറ്റ് എലമെന്റ് അനുമാനവും

വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം എന്നതിലെ ദുർബല രൂപം കമ്പ്യൂട്ടറിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനായി, വസ്തുവിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ പരിമിതമായ എണ്ണം എലമെന്റുകളായി വിഭജിക്കുകയും, എലമെന്റിനുള്ളിലെ മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റ് കോഓർഡിനേറ്റുകൾ, സ്ഥാനചലനം, ടെസ്റ്റ് ഫംഗ്ഷൻ എന്നിവ നോഡൽ മൂല്യങ്ങളും ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളും ഉപയോഗിച്ച് ഇന്റർപൊളേറ്റ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സ്പേഷ്യൽ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സ്പേഷ്യൽ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ദുർബല രൂപത്തിന്റെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ ആന്തരികബല വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ, എലമെന്റ് തരത്തിനനുസരിച്ചുള്ള ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ കൃത്യരൂപങ്ങൾ എലമെന്റ് നമ്പറിംഗ് സിസ്റ്റവും ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ ലൈബ്രറിയും എന്നിവയിൽ വിവരിക്കുന്നു.

ഡൊമെയ്ൻ വിഭജനവും സമാകലനത്തിന്റെ എലമെന്റ്-സമവും

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ ഡൊമെയ്ൻ \(\Omega_0\) ഉം നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ ഡൊമെയ്ൻ \(\Omega\) ഉം യഥാക്രമം എലമെന്റുകൾ \(\Omega^e_0\), \(\Omega^e\) എന്നിവയുടെ യൂണിയനായി അനുമാനിക്കുന്നു:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) എലമെന്റ് നമ്പറാണ്; എലമെന്റ് അതിർത്തികൾ അയൽ എലമെന്റുകൾ തമ്മിൽ പങ്കിടുന്നു). ഇതോടെ വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം എന്നതിലെ വോള്യം, ഉപരിതല സമാകലനങ്ങൾ ഓരോ എലമെന്റിലെയും സമാകലനങ്ങളുടെ സമമായി വിഭജിക്കാം:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലും \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) എന്ന മാറ്റത്തോടെ ഇതേ രീതിയാണ്). ഇതിന് ശേഷം ദുർബല രൂപത്തിന്റെ മൂല്യനിർണ്ണയം എലമെന്റ്-തല സമാകലനങ്ങളുടെ നിർമാണമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

നോഡൽ മൂല്യങ്ങളും ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളും ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഇന്റർപൊളേഷൻ (ഐസോപാരാമെട്രിക് എലമെന്റ്)

ഓരോ എലമെന്റ് \(\Omega^e_0\)-ക്കും \(n_e\) നോഡുകൾ നിയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. എലമെന്റ് നോഡ് \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)-ന്റെ റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ കോഓർഡിനേറ്റും നോഡൽ സ്ഥാനചലനവും \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) എന്ന് രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ഇവ ക്രമീകരിച്ച എലമെന്റ് നോഡൽ വെക്റ്ററുകൾ \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) എന്നിവ മുഴുവൻ നോഡൽ വെക്റ്ററുകളായ \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) എന്നിവയിൽ നിന്ന് എലമെന്റ് \(e\) രൂപപ്പെടുത്തുന്ന നോഡുകളിലെ ഘടകങ്ങൾ മാത്രം എടുത്തതാണ് (\(n_g\) മൊത്തം നോഡുകളുടെ എണ്ണം).

എലമെന്റിനുള്ളിലെ ലോക്കൽ കോഓർഡിനേറ്റായ നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റ് \(\boldsymbol{r}\) നെ പാരാമീറ്ററായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ഉപയോഗിച്ച്, എലമെന്റിനുള്ളിലെ മെറ്റീരിയൽ കോഓർഡിനേറ്റ്, സ്ഥാനചലനം, ടെസ്റ്റ് ഫംഗ്ഷൻ എന്നിവ ഒരേ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഇന്റർപൊളേറ്റ് ചെയ്യുന്നു (ഐസോപാരാമെട്രിക് എലമെന്റ്, Galerkin രീതി):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ താഴെപ്പറയുന്ന രണ്ട് ഗുണങ്ങൾ നിറവേറ്റുന്ന വിധത്തിലാണ് നിർമ്മിക്കുന്നത്. കൂടാതെ നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റിൽ നിന്ന് മെറ്റീരിയൽ കോഓർഡിനേറ്റിലേക്കുള്ള മാപ്പിംഗ് \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) എലമെന്റിനുള്ളിൽ ഏക-ഏകമാകുന്ന വിധത്തിൽ എലമെന്റ് ആകൃതി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) നോഡ് \(\alpha\)-യോട് അനുബന്ധിക്കുന്ന നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റ് പോയിന്റും \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker ഡെൽറ്റയും ആണ്). ആദ്യ സമവാക്യം റിജിഡ്-ബോഡി ട്രാൻസ്ലേഷൻ പുനരുത്പാദിപ്പിക്കാനാകുമെന്ന് ഉറപ്പാക്കുന്നു; രണ്ടാമത്തേത് ഇന്റർപൊളേഷൻ മൂല്യം നോഡിൽ നോഡൽ മൂല്യത്തോട് തുല്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുന്നു. എലമെന്റ് തരത്തിനനുസരിച്ചുള്ള \(n_e\), \(N_\alpha^e\) എന്നിവയുടെ കൃത്യരൂപങ്ങൾ എലമെന്റ് നമ്പറിംഗ് സിസ്റ്റവും ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ ലൈബ്രറിയും എന്നതിനു ശേഷം കാണിക്കുന്നു. നോട്ടേഷൻ അനാവശ്യമായി സങ്കീർണമാകാതിരിക്കാൻ എലമെന്റ് തരത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നതിനെ ഓരോ എലമെന്റിന്റെയും സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റ് \(e\) കൊണ്ട് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഈ ഇന്റർപൊളേഷൻ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ദുർബല രൂപത്തിലെ ഇന്റഗ്രാൻഡ് എലമെന്റ് നോഡൽ മൂല്യങ്ങളായ \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) ഉം \(N_\alpha^e\) ഉം മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം. എന്നാൽ സ്ട്രെയിൻ ഇന്റർപൊളേറ്റ് ചെയ്ത സ്ഥാനചലനവും സ്ട്രെയിൻ–സ്ഥാനചലന ബന്ധവും ഉപയോഗിച്ചും, സ്ട്രെസ് ആ സ്ട്രെയിനും മെറ്റീരിയൽ കോൺസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടീവ് നിയമവും ഉപയോഗിച്ചും ലഭിക്കുന്ന അളവുകളാണ്; അവ നോഡൽ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് ഇന്റർപൊളേറ്റ് ചെയ്യുന്നതല്ല. ഇവ എലമെന്റിനുള്ളിലെ സമാകലന പോയിന്റുകളിൽ വിലയിരുത്തുന്നു (സംഖ്യാത്മക സമാകലനം).

ആഗോള നോഡൽ വെക്റ്ററിന്റെ ക്രമീകരണ നിയമം

നോഡുകൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭൗതിക അളവുകൾ ആഗോള നോഡൽ വെക്റ്ററിൽ നോഡ് നമ്പർ → സ്വാതന്ത്ര്യ അംശം എന്ന ക്രമത്തിൽ ഉയരുന്ന രീതിയിൽ നിരത്തുന്നു. നോഡ് \(\alpha\)-യിലെ സ്വാതന്ത്ര്യ അംശം \(i\)-ന്റെ ഘടകം \(u_{i\alpha}\) ആണെങ്കിൽ, 3-ഡൈമെൻഷണൽ (\(i=1,2,3\)) നിലയിലും 2-ഡൈമെൻഷണൽ (\(i=1,2\)) നിലയിലും യഥാക്രമം

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

എന്നിങ്ങനെയാണ്. കോഓർഡിനേറ്റ് \(\boldsymbol{X}^n\) ഉം ടെസ്റ്റ് ഫംഗ്ഷൻ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ഉം ഇതേ ക്രമം പിന്തുടരുന്നു. ഇനി വരുന്ന മാട്രിക്സ്, വെക്റ്റർ രൂപത്തിലുള്ള വികസനങ്ങളിൽ 3-ഡൈമെൻഷണൽ രൂപം പ്രതിനിധിയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ