Skip to content

ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷന്റെ സ്പേഷ്യൽ വ്യുത്പന്നം

ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനും പരിമിത എലമെന്റ് സമീപനവും എന്ന അധ്യായത്തിൽ പരിചയപ്പെടുത്തിയ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), എലമെന്റിന്റെ ലോക്കൽ കോഓർഡിനേറ്റുകളായ സ്വാഭാവിക കോഓർഡിനേറ്റ് \(\boldsymbol{r}\) ന്റെ ഫംഗ്ഷനായി നൽകപ്പെടുന്നു. മറുവശത്ത്, ദുർബല രൂപത്തിലെ ഇന്റഗ്രാൻഡിൽ സ്ട്രെയിൻ-സ്ഥാനചലന ബന്ധം വഴി ഭൗതിക കോഓർഡിനേറ്റുകളെ (റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ \(\boldsymbol{X}\) അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ \(\boldsymbol{x}\)) സംബന്ധിച്ച ഭാഗിക വ്യുത്പന്നങ്ങൾ \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) അല്ലെങ്കിൽ \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. ഈ അധ്യായത്തിൽ ഈ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷന്റെ സ്പേഷ്യൽ വ്യുത്പന്നങ്ങൾ എലമെന്റ് നോഡ് കോഓർഡിനേറ്റുകളും സ്വാഭാവിക കോഓർഡിനേറ്റ് വ്യുത്പന്നങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്ന നടപടിക്രമം ക്രമീകരിക്കുന്നു.

ചെയിൻ റൂൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള സ്പേഷ്യൽ വ്യുത്പന്നത്തിന്റെ പ്രതിനിധാനം

ഇന്റർപൊളേഷൻ സമവാക്യം \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (മുൻ അധ്യായം) എന്ന സാഹചര്യത്തിൽ ചെയിൻ റൂൾ പ്രയോഗിച്ചാൽ, സ്വാഭാവിക കോഓർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഭൗതിക കോഓർഡിനേറ്റുകളിലേക്കുള്ള മാപ്പിംഗിന്റെ ജാക്കോബിയൻ മാട്രിക്സ് \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) ഉപയോഗിച്ച്

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

ലഭിക്കുന്നു. ഇവിടെ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ഉം \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ഉം, ഓരോ വരി \(\alpha\) യും നോഡ് \(\alpha\) യുടെ ഭാഗിക വ്യുത്പന്ന വെക്റ്ററെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന \(n_e \times 3\) മാട്രിസുകളാണ്.

ജാക്കോബിയൻ മാട്രിക്സിന്റെ നിർമ്മാണം

ഇന്റർപൊളേഷൻ സമവാക്യത്തെ \(\boldsymbol{r}\) നെ സംബന്ധിച്ച് ഭാഗികമായി വ്യുത്പന്നമെടുത്താൽ

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

എന്നാകുന്നു; അതിനാൽ എലമെന്റ് നോഡ് കോഓർഡിനേറ്റുകൾ \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ഉം സ്വാഭാവിക കോഓർഡിനേറ്റ് വ്യുത്പന്നങ്ങൾ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ഉം ഉപയോഗിച്ച് നേരിട്ട് നിർമ്മിക്കാം. സ്വാഭാവിക കോഓർഡിനേറ്റ് വ്യുത്പന്നങ്ങൾ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഫംഗ്ഷണൽ രൂപത്തിൽ നിന്ന് നിശ്ചയിക്കപ്പെടുകയും ഓരോ എലമെന്റ് തരത്തിനും മുൻകൂട്ടി നടപ്പാക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.

ജാക്കോബിയൻ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\), സംഖ്യാത്മക സമാകലനം എന്നതിലെ വോള്യം ഘടകത്തിന്റെ പരിവർത്തനം \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) ചെയ്യാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഡിറ്റർമിനന്റ് \(0\) ആണെങ്കിൽ എലമെന്റ് ഡിജെനറേറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു, കണക്കുകൂട്ടൽ പരാജയപ്പെടും.

കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രവാഹം

മുകളിൽ നൽകിയ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, സ്പേഷ്യൽ വ്യുത്പന്നം \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) കണക്കാക്കൽ താഴെപ്പറയുന്ന നാല് ഘട്ടങ്ങളായി വേർതിരിക്കാം.

  1. സ്വാഭാവിക കോഓർഡിനേറ്റ് വ്യുത്പന്നത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ: എലമെന്റ് തരവും മൂല്യനിർണ്ണയ പോയിന്റിലെ സ്വാഭാവിക കോഓർഡിനേറ്റ് \(\boldsymbol{r}\) ഉം ഇൻപുട്ടായി എടുത്ത്, സ്വാഭാവിക കോഓർഡിനേറ്റ് വ്യുത്പന്ന മാട്രിക്സ് \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) കണക്കാക്കുന്നു. ഓരോ എലമെന്റ് തരത്തിനും ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഫംഗ്ഷണൽ രൂപം വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ എലമെന്റ് തരം അനുസരിച്ച് ശാഖിക്കുന്നു.
  2. ജാക്കോബിയൻ മാട്രിക്സിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ: എലമെന്റ് നോഡ് കോഓർഡിനേറ്റുകൾ \(\boldsymbol{X}^e\) ഉം \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ഉം ഉപയോഗിച്ച്, മുൻ വിഭാഗത്തിലെ സമവാക്യം പ്രകാരം ജാക്കോബിയൻ മാട്രിക്സ് \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) നിർമ്മിക്കുന്നു.
  3. ഇൻവേഴ്സ് മാട്രിക്സും ഡിറ്റർമിനന്റും കണക്കാക്കൽ: ജാക്കോബിയൻ മാട്രിക്സിന്റെ ഇൻവേഴ്സ് \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ഉം ഡിറ്റർമിനന്റും കണക്കാക്കുന്നു. ഡിറ്റർമിനന്റ് സംഖ്യാത്മക സമാകലനത്തിലെ ഭാരമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.
  4. സ്പേഷ്യൽ വ്യുത്പന്നത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ഉം \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ഉം ഗുണിച്ചാണ് സ്പേഷ്യൽ വ്യുത്പന്നം \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ലഭിക്കുന്നത്.

ഈ നാല് ഘട്ടങ്ങളും എലമെന്റ് തരം, സ്പേഷ്യൽ ഡൈമെൻഷൻ (2D, 3D) എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ച് ശാഖിക്കുമെങ്കിലും മൊത്തത്തിലുള്ള പ്രവാഹം ഒരുപോലെയാണ്.

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനും നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനും തമ്മിലുള്ള പൊതുവൽക്കരണം

മുകളിലുള്ള നടപടിക്രമത്തിൽ \(\boldsymbol{X}^e\) നു പകരം നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ നോഡ് കോഓർഡിനേറ്റുകൾ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ഉപയോഗിച്ചാൽ, നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ സ്പേഷ്യൽ വ്യുത്പന്നം \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) കണക്കാക്കുന്നതിനും അതേ നടപടിക്രമം പ്രയോഗിക്കാം. അതിനാൽ Total Lagrange രീതിയിലും Updated Lagrange രീതിയിലും ഇൻപുട്ട് നോഡ് കോഓർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ ഒരേ നടപടിക്രമം പങ്കിട്ട് ഉപയോഗിക്കാം.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ