Skip to content

ആന്തരിക ബലത്തിന്റെ വിർച്വൽ വർക്ക് ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ

ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനത്തിന്റെ ചട്ടക്കൂടിൽ നൽകിയ സമയം \(t + \Delta t\)-ലെ വിർച്വൽ വർക്ക് സമവാക്യം റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ തിരഞ്ഞെടുപ്പനുസരിച്ച് Updated Lagrange, Total Lagrange എന്നീ 2 രൂപങ്ങളായി വേർപെടുന്നു. ഈ അധ്യായത്തിൽ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളും പരിമിത എലമെന്റ് സന്നികടനവും, ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സ്പേഷ്യൽ ഡെരിവേറ്റീവുകൾ എന്നിവയിൽ അവതരിപ്പിച്ച പരിമിത എലമെന്റ് സന്നികടനം ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് ഫോർമുലേഷനുകളുടെയും ആന്തരിക വിർച്വൽ വർക്ക് സ്പേഷ്യലായി ഡിസ്ക്രിറ്റൈസ് ചെയ്ത് എലമെന്റ് ആന്തരിക-ബല വെക്റ്ററുകൾ \(\boldsymbol{q}^e\)(UL രീതി), \(\boldsymbol{Q}^e\)(TL രീതി) നേടുന്നു.

എലമെന്റ് \(e\)-യിലെ ഘടക നോഡുകൾ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)-ന്റെ സ്ഥാനചലനങ്ങളെ \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) എന്നും എലമെന്റ് നോഡൽ സ്ഥാനചലന വെക്റ്ററെ \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) എന്നും ക്രമീകരിക്കുന്നു; സാങ്കൽപ്പിക സ്ഥാനചലനം \(\delta \boldsymbol{u}^e\)-വും അതേ ക്രമത്തിൽ നിർവചിക്കുന്നു. എലമെന്റിനുള്ളിലെ സ്ഥാനചലനം ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ആയി ഇന്റർപൊളേറ്റ് ചെയ്യുന്നു.

Updated Lagrange രീതിയിലെ ആന്തരിക വിർച്വൽ വർക്ക്

Updated Lagrange രീതിയിൽ സമയം \(t\)-ലെ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ \({}^{t}\Omega\) റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനായി എടുത്ത്, Cauchy സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{\sigma}\), Almansi സ്ട്രെയിന്റെ രേഖീയ ഭാഗം \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ആന്തരിക വിർച്വൽ വർക്ക്

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

എന്ന് എഴുതാം. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)-ന്റെ ഓരോ ഘടകവും നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ നിർദ്ദേശാങ്കം \(\boldsymbol{x}\) സംബന്ധിച്ച ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ ഡെരിവേറ്റീവ് \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-ന്റെയും നോഡൽ സാങ്കൽപ്പിക സ്ഥാനചലനം \(\delta u^e_{i\alpha}\)-ന്റെയും രേഖീയ സംയോജനമായി രേഖപ്പെടുത്താം; Voigt നോട്ടേഷനിൽ

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

എന്ന് സംഗ്രഹിക്കാം. നോഡൽ ബ്ലോക്ക് \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) എന്നത് \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-നെ Voigt നിയമപ്രകാരം ക്രമപ്പെടുത്തിയ \(6 \times 3\) മാട്രിക്സാണ്; \(\boldsymbol{B}_L\) UL രീതിയുടെ സ്ട്രെയിൻ-സ്ഥാനചലനം മാട്രിക്സാണ്. ഇത് ആന്തരിക വിർച്വൽ വർക്കിൽ പകരംവച്ച് \(\delta \boldsymbol{u}^e\) വേർതിരിച്ചാൽ

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

ലഭിക്കുന്നു. \(\boldsymbol{q}^e\)-യിലെ നോഡൽ ബ്ലോക്ക് \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) എലമെന്റ് \(\Omega^e\)-യിലെ ഘടക നോഡ് \(\alpha\)-യിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ആന്തരിക ബലമാണ്.

Total Lagrange രീതിയിലെ ആന്തരിക വിർച്വൽ വർക്ക്

Total Lagrange രീതിയിൽ ആരംഭ കോൺഫിഗറേഷൻ \(\Omega_0\) റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനായി എടുത്ത്, 2-ാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\), Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{E}\) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

എന്ന് എഴുതാം. \(\delta \boldsymbol{E}\) സാങ്കൽപ്പിക സ്ഥാനചലനത്തോട് രേഖീയമായ പദവും നിലവിലെ സ്ഥാനചലന ഗ്രേഡിയന്റ് \(\partial u_k/\partial X_j\)-നോടുള്ള ഗുണിതങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അരേഖീയ പദവും ആയി വേർതിരിക്കാം:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

രേഖീയ പദം UL രീതിയിലുള്ള അതേ ക്രമീകരണ നിയമം \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-യ്ക്ക് പ്രയോഗിച്ച് രൂപപ്പെടുത്തിയ നോഡൽ ബ്ലോക്ക് \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ഉപയോഗിച്ച്

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

എന്ന് എഴുതാം(റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ മാറുന്നതിനാൽ ഘടകങ്ങൾ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-ൽ നിന്ന് \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ലേക്ക് മാറുന്നതു മാത്രം; UL രീതിയിലുള്ള അതേ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു). അരേഖീയ പദം നിലവിലെ സ്ഥാനചലന ഗ്രേഡിയന്റ് \(\partial u_k/\partial X_j\)-ന്റെയും \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ന്റെയും ഗുണിതങ്ങളെ Voigt നിയമപ്രകാരം ക്രമപ്പെടുത്തിയ നോഡൽ ബ്ലോക്ക് \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) ഉപയോഗിച്ച്

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

എന്ന് എഴുതാം. അതിനാൽ \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) ആകുന്നു; \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL രീതിയുടെ സ്ട്രെയിൻ-സ്ഥാനചലനം മാട്രിക്സാണ്. ഇത് ആന്തരിക വിർച്വൽ വർക്കിൽ പകരംവച്ചാൽ

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

ലഭിക്കുന്നു. നോഡൽ ബ്ലോക്ക് \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) എലമെന്റ് \(\Omega^e_0\)-യിലെ ഘടക നോഡ് \(\alpha\)-യിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ആന്തരിക ബലമാണ്.

UL/TL തമ്മിലുള്ള ബന്ധവും കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രവാഹവും

Updated Lagrange, Total Lagrange രീതികളിലെ എലമെന്റ് ആന്തരിക-ബല വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം താഴെപ്പറയുന്നതാണ്.

ഇനം Updated Lagrange രീതി Total Lagrange രീതി
റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ \({}^{t}\Omega^e\) ആരംഭ കോൺഫിഗറേഷൻ \(\Omega^e_0\)
സ്ട്രെസ് ടെൻസർ Cauchy സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{\sigma}\) 2-ാം PK സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\)
സ്ട്രെയിൻ വ്യതിയാനം \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B മാട്രിക്സ് \(\boldsymbol{B}_L\)(\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)(\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
എലമെന്റ് ആന്തരിക ബലം \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

രണ്ടും ഒരേ നടപടിക്രമത്തിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യാം: “ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സ്പേഷ്യൽ ഡെരിവേറ്റീവുകളിൽ നിന്ന് \(\boldsymbol{B}_L\) രൂപപ്പെടുത്തുക”, “TL രീതിയിൽ നിലവിലെ സ്ഥാനചലന ഗ്രേഡിയന്റിൽ നിന്ന് \(\boldsymbol{B}_{NL}\) രൂപപ്പെടുത്തി ചേർക്കുക”, “കോൺസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടീവ് നിയമം അനുസരിച്ച് സ്ട്രെസ്(\(\boldsymbol{\sigma}\) അല്ലെങ്കിൽ \(\boldsymbol{S}\)) പുതുക്കുക”, “ഇന്റഗ്രേഷൻ പോയിന്റുകളിൽ \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) അല്ലെങ്കിൽ \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) എലമെന്റ് ഡൊമെയ്‌നിൽ സംഖ്യാത്മകമായി ഇന്റഗ്രേറ്റ് ചെയ്യുക(സംഖ്യാത്മക സമാകലനം)”. റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ മാറുന്നതും(നോഡ് നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളും \(\boldsymbol{B}\) മാട്രിക്സിന്റെ നിർമ്മാണവും) സ്ട്രെസ് ടെൻസർ മാറുന്നതുമൊഴികെ നടപടിക്രമം പൊതുവായതിനാൽ, FrontISTR-ൽ രണ്ട് രീതികളുടെയും ആന്തരിക ബല കണക്കുകൂട്ടൽ ഒരേ സബ്‌റൂട്ടീനിൽ നടപ്പാക്കിയിരിക്കുന്നു. എലമെന്റ് ആന്തരിക-ബല വെക്റ്ററുകളായ \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) എന്നിവയിൽ നിന്ന് ആഗോള ആന്തരിക-ബല വെക്റ്റർ അസംബിൾ ചെയ്യുന്നത് ബാഹ്യബലത്തിന്റെ വിർച്വൽ വർക്കും ആഗോള സമവാക്യത്തിന്റെ അസംബ്ലിയും വിഭാഗത്തിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ