Skip to content

ബാഹ്യബല വിർച്വൽ വർക്കും ആഗോള സമവാക്യത്തിന്റെ അസംബ്ലിയും

ആന്തരികബല വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ എന്നതിൽ ദുർബല രൂപത്തിന്റെ ഇടത് വശം എലമെന്റ് ആന്തരികബല വെക്റ്റർ \(\boldsymbol{q}^e\) (UL രീതി) അല്ലെങ്കിൽ \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL രീതി) ആയി ചുരുക്കി. ഈ അധ്യായത്തിൽ ബാഹ്യബല വിർച്വൽ വർക്കിൽ നിന്ന് എലമെന്റ് നോഡൽ ബാഹ്യബല വെക്റ്റർ \(\boldsymbol{F}^e\) അവതരിപ്പിക്കുന്നു. തുടർന്ന് എലമെന്റ് നോഡൽ ഭൗതിക അളവുകൾ ആഗോള നോഡ് നമ്പർ അനുസരിച്ച് പുനഃക്രമീകരിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്ന അസംബ്ലി പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ FrontISTR-ന്റെ രേഖീയമല്ലാത്ത ഘടനാ വിശകലനം പരിഹരിക്കേണ്ട നോഡൽ സ്ഥാനചലനത്തെ സംബന്ധിച്ച രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യസമൂഹത്തിലേക്ക് എത്തുന്നു.

ബാഹ്യബല വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ എലമെന്റ് വിഭജനം

വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം എന്നതിന്റെ വലത് വശം വോള്യൂം ഫോഴ്‌സ് (ബോഡി ഫോഴ്‌സ്), യാന്ത്രിക അതിർത്തിയിലെ നിർദ്ദിഷ്ട ഉപരിതലബലം എന്നിവ ചേർന്ന ബാഹ്യബല വിർച്വൽ വർക്കായി ഓരോ എലമെന്റിലേക്കും വിഭജിക്കാം. ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളും ഫിനൈറ്റ് എലമെന്റ് അനുമാനവും എന്നതിൽ അവതരിപ്പിച്ച സ്ഥാനചലന ഇന്റർപൊളേഷൻ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ, നോഡ് \(\alpha\)-യുടെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ \(N_\alpha^e\) ഡയഗണലിൽ നിരത്തിയ \(d \times d\) ബ്ലോക്ക് \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ഉം അവയെ തിരശ്ചീനമായി നിരത്തിയ \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ഉം ഉപയോഗിച്ച് \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) എന്ന് എഴുതുന്നു. ഇത് റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ ബാഹ്യബല വിർച്വൽ വർക്കിൽ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്താൽ

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

ലഭിക്കുന്നു. ഇവിടെ എലമെന്റ് നോഡൽ ബാഹ്യബല വെക്റ്റർ \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) എന്ന് നിരത്തി. ഇതുവഴി ബാഹ്യബല വിർച്വൽ വർക്കും ആന്തരികബല ഭാഗം പോലെ “എലമെന്റ് നോഡൽ വെക്റ്റർ × ടെസ്റ്റ് ഫംഗ്ഷൻ” രൂപത്തിൽ എഴുതാം. നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിൽ എഴുതിയാലും \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) എന്ന മാറ്റത്തോടെ രൂപം അതേപോലെയാണ്.

എലമെന്റ് നോഡൽ ഭൗതിക അളവുകളുടെ അസംബ്ലി

ഓരോ എലമെന്റിലും ലഭിക്കുന്ന നോഡൽ ഭൗതിക അളവുകൾ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) ആഗോള നോഡ് നമ്പർ അനുസരിച്ച് പുനഃക്രമീകരിച്ച ആഗോള വെക്റ്ററിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു. എലമെന്റ് \(\Omega^e\)-യിലെ ലോക്കൽ നോഡ് നമ്പർ \(\alpha\)-യോട് അനുബന്ധിക്കുന്ന ആഗോള നോഡ് നമ്പർ

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

എന്ന് എഴുതിയാൽ, എലമെന്റ് നോഡൽ അളവ് ആഗോള നോഡൽ അളവിന്റെ അനുബന്ധ ഘടകത്തോടു തുല്യമാണ് (\(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\) മുതലായവ). സാധാരണയായി നോഡ് \(i_g\) പല എലമെന്റുകളും പങ്കിടുന്നതിനാൽ, ആഗോള നോഡ് നമ്പർ \(i_g\) ആകുന്ന \((e, \alpha)\) ജോഡികളുടെ സമുച്ചയം

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

ഉപയോഗിച്ച് \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) എന്ന് സമം പുനരാഖ്യാനം ചെയ്താൽ, എല്ലാ \(n_g\) നോഡുകളിലേക്കുമുള്ള നോഡൽ ആന്തരികബലം, ആഗോള ആന്തരികബല വെക്റ്റർ എന്നിവ

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

എന്നായി ലഭിക്കുന്നു. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) നോഡ് \(i_g\)-ൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന എലമെന്റ് നോഡൽ ആന്തരികബലങ്ങളുടെ റെസൾട്ടന്റാണ്; ബാഹ്യബലം ഇല്ലാതെ സമതുലിതാവസ്ഥയിലാണെങ്കിൽ ഇത് \(\boldsymbol{0}\) ആയിരിക്കും. UL രീതിയിലും അതേ നടപടിക്രമം ഉപയോഗിച്ച് \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) ലഭിക്കുന്നു. മൂല്യത്തിൽ \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) ആയതിനാൽ, വ്യത്യാസം അനിവാര്യമായിടങ്ങൾ ഒഴികെ ഇനി \(\boldsymbol{Q}\) എന്ന നോട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആഗോള ബാഹ്യബല വെക്റ്റർ \(\boldsymbol{F}\) ഉം ഇതേ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിലൂടെ ലഭിക്കുന്നു.

ഇംപ്ലിമെന്റേഷനിൽ സമുച്ചയം \(\mathcal{E}(i_g)\) വ്യക്തമായി നിർമ്മിക്കാതെ, എലമെന്റ് ലൂപ്പിനുള്ളിൽ അനുബന്ധ ഘടകത്തിലേക്ക് നേരിട്ട് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.

ആഗോള ആന്തരികബല വെക്റ്റർ Q നെ 0 ആയി ആരംഭിക്കുക: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (എലമെന്റുകളുടെ എണ്ണം)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

ആഗോള ബാഹ്യബല വെക്റ്റർ \(\boldsymbol{F}\) ഉം ഇതേ നടപടിക്രമത്തിൽ നിർമ്മിക്കുന്നു. ആഗോള നോഡ് നമ്പറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇൻഡക്സ് ചെയ്ത വെക്റ്ററുകളിലും മാട്രിക്സുകളിലും എലമെന്റ് നോഡൽ ഭൗതിക അളവുകൾ ചേർത്ത് സംഭരിക്കുന്ന ഈ പ്രവർത്തനത്തെ അസംബ്ലി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. രണ്ട് നോഡ് നമ്പറുകളെ സംബന്ധിച്ച രണ്ടാം-ഓർഡർ ടെൻസറുകൾക്ക് (ഉദാ. സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ്) സമുച്ചയം \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) ഉപയോഗിച്ച് സമാന അസംബ്ലി ലഭിക്കുന്നു. കൃത്യമായ നിർമ്മാണത്തിന് ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ് കാണുക.

പരിഹരിക്കേണ്ട രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യം

ആന്തരികബലവും ബാഹ്യബലവും അസംബ്ലി ചെയ്ത ഫലം വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം എന്നതിൽ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്ത്, ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ഏതൊരു ടെസ്റ്റ് ഫംഗ്ഷൻ \(\delta\boldsymbol{u}^n\)-നും ഇത് സാധുവാണെന്നതിൽ നിന്ന്

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

ലഭിക്കുന്നു. ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനത്തിന്റെ (ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനത്തിന്റെ ചട്ടക്കൂട്) പശ്ചാത്തലത്തിൽ സമയ സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് \(_{n+1}\) പുനഃസ്ഥാപിച്ച്, ആഗോള നോഡൽ വെക്റ്റർ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സൂപ്പർസ്ക്രിപ്റ്റ് \(^n\) ഒഴിവാക്കിയാൽ പരിഹരിക്കേണ്ട സമവാക്യം

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

ആകുന്നു. സമയം \(t_{n+1}\)-ലെ നോഡൽ സ്ഥാനചലനം \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) കണ്ടെത്താനുള്ള ഡിസ്ക്രിറ്റൈസ് ചെയ്ത ബൗണ്ടറി-വാല്യൂ പ്രശ്നം, സ്ഥാനചലനത്തെ സംബന്ധിച്ച ഈ രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യം ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളോടൊപ്പം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ രേഖീയീകരണവും ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സിന്റെ നിർമ്മാണവും ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ്, ആവർത്തന പരിഹാരരീതി Newton-Raphson രീതി എന്നിവയിൽ കാണുക.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ