സംഖ്യാത്മക സമാകലനം¶

ആന്തരികബല വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ, ബാഹ്യബല വിർച്വൽ വർക്കും ആഗോള സമവാക്യത്തിന്റെ അസംബ്ലിയും എന്നിവയിൽ ലഭിച്ച എലമെന്റ് ആന്തരികബല വെക്റ്ററുകൾ \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ഉം എലമെന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ് \(\boldsymbol{K}^e\) ഉം എലമെന്റ് ഡൊമെയ്ൻ \(\Omega^e\) അല്ലെങ്കിൽ \(\Omega^e_0\) മുകളിൽ സമാകലനരൂപത്തിലാണ്. FrontISTR ഇവയെ Gauss സമാകലന സൂത്രം ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യാത്മകമായി വിലയിരുത്തുന്നു.

Gauss സമാകലന സൂത്രവും ചരമാറ്റവും¶

Gauss സമാകലന സൂത്രം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡൊമെയ്ൻ \(\Xi\)-യിലെ സമാകലനം, സമാകലന പോയിന്റുകൾ \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\)-ലുള്ള ഇന്റഗ്രാൻഡ് മൂല്യങ്ങളും ഭാരങ്ങൾ \(w_i\) ഉം ചേർന്ന രേഖീയ സമമായി അനുമാനിക്കുന്നു. എലമെന്റ് ഡൊമെയ്ൻ \(\Omega^e\)-ലേക്കുള്ള പ്രയോഗത്തിൽ \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) എന്ന മാപ്പിംഗ് മുഖേന ചരമാറ്റം ഉൾപ്പെടുന്നു:

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ഇങ്ങനെ എഴുതാം. \(n_q\) സമാകലന പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണവും \(J_{\xi_i}\) പരിവർത്തന ജാക്കോബിയൻ ഡിറ്റർമിനന്റുമാണ്. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡൊമെയ്ൻ \(\Xi\) എലമെന്റ് തരത്തിനനുസരിച്ച് നിശ്ചയിക്കുന്നു (ഹെക്സാഹീഡ്രോണിന് \([-1,1]^3\); ത്രികോണം, ടെട്രാഹീഡ്രോൺ, വെഡ്ജ് എന്നിവയ്ക്ക് അവയുടെ റഫറൻസ് ആകൃതികൾ). സമാകലന പോയിന്റുകൾ \(\boldsymbol{\xi}_i\) ഉം ഭാരങ്ങൾ \(w_i\) ഉം സംഖ്യാ പട്ടികകളായി നൽകുന്നു. ഉപരിതല സമാകലനവും എലമെന്റ് ഉപരിതലം 2-ഡൈമെൻഷണൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് മാപ്പ് ചെയ്ത് ഇതേ രൂപത്തിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

FrontISTR ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രതിനിധിയായ സമാകലന പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം താഴെ കാണിക്കുന്നു (എലമെന്റ് തരങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധത്തിന് എലമെന്റ് നമ്പറിംഗ് സിസ്റ്റവും ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ ലൈബ്രറിയും കാണുക).

എലമെന്റ് തരം	സമാകലന സൂത്രം	സമാകലന പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം
4-നോഡ് ടെട്രാഹീഡ്രോൺ (`tet4n`)	1-പോയിന്റ് സൂത്രം	1
10-നോഡ് ടെട്രാഹീഡ്രോൺ (`tet10n`)	4-പോയിന്റ് സൂത്രം	4
6-നോഡ് ട്രയാംഗുലർ പ്രിസം (`prism6n`)	2-പോയിന്റ് സൂത്രം	2
15-നോഡ് ട്രയാംഗുലർ പ്രിസം (`prism15n`)	9-പോയിന്റ് സൂത്രം	9
8-നോഡ് ഹെക്സാഹീഡ്രോൺ (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-നോഡ് ഹെക്സാഹീഡ്രോൺ (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-നോഡ് ക്വാഡ്രിലാറ്ററൽ (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-നോഡ് ക്വാഡ്രിലാറ്ററൽ (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-നോഡ് ത്രികോണം (`tri3n`)	1-പോയിന്റ് സൂത്രം	1
6-നോഡ് ത്രികോണം (`tri6n`)	3-പോയിന്റ് സൂത്രം	3

ഹെക്സാഹീഡ്രോൺ, ക്വാഡ്രിലാറ്ററൽ, ലൈൻ എലമെന്റുകളിൽ ഓരോ അക്ഷദിശയിലുമുള്ള Gauss-Legendre സൂത്രങ്ങളുടെ ടെൻസർ ഗുണിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ത്രികോണം, ടെട്രാഹീഡ്രോൺ, ട്രയാംഗുലർ പ്രിസം എന്നിവയ്ക്ക് സിംപ്ലെക്സ് ആകൃതിക്ക് അനുയോജ്യമായ പ്രത്യേക സൂത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു; അവ ത്രികോണത്തിനകത്ത് തന്നെ പോളിനോമിയലുകൾ കൃത്യമായി സമാകലനം ചെയ്യുന്ന പോയിന്റ് ക്രമീകരണങ്ങളാണ്.

എലമെന്റ് സമാകലനത്തിലേക്കുള്ള പ്രയോഗം¶

എലമെന്റ് സമാകലനത്തിൽ നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റ് \(\boldsymbol{r}\) നെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡൊമെയ്‌നിന്റെ കോഓർഡിനേറ്റായി ഉപയോഗിക്കുന്നു (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)). ഭൗതിക കോഓർഡിനേറ്റിലേക്കുള്ള മാപ്പിംഗ് ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള നോഡൽ കോഓർഡിനേറ്റ് ഇന്റർപൊളേഷനാണ്. റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ (ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനത്തിന്റെ ചട്ടക്കൂട്) ആശ്രയിച്ച് താഴെപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പൂർണ്ണ ലഗ്രാൻജിയൻ രീതി (റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ \(\Omega^e_0\)-ൽ സമാകലനം): മാപ്പിംഗും ജാക്കോബിയനും

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

എന്നായി എടുത്ത്, എലമെന്റ് ആന്തരികബലവും സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സും

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

എന്നായി അനുമാനിക്കുന്നു. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) എല്ലാം സമാകലന പോയിന്റ് \(\boldsymbol{r}_i\)-ൽ വിലയിരുത്തുന്നു.

നവീകരിച്ച ലഗ്രാൻജിയൻ രീതി (നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ \(\Omega^e\)-ൽ സമാകലനം): മാപ്പിംഗും ജാക്കോബിയനും

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

എന്നായി എടുത്ത്,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

എന്നായി അനുമാനിക്കുന്നു.

ഈ രണ്ടു ഫോർമുലേഷനുകളുടെ വ്യത്യാസം മാപ്പിംഗിന് നൽകുന്ന നോഡൽ കോഓർഡിനേറ്റുകൾ \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ആണോ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) ആണോ എന്ന ഒറ്റ കാര്യത്തിലാണ്. സമാകലന പോയിന്റുകൾ, ഭാരങ്ങൾ, സമാകലന പോയിന്റ് ലൂപ്പിന്റെ ഘടന എന്നിവ ഒരുപോലെയാണ്.

പൂർണ്ണ സമാകലനവും റിഡ്യൂസ്ഡ്-ഓർഡർ സമാകലനവും¶

ഇന്റഗ്രാൻഡിന്റെ പോളിനോമിയൽ ഡിഗ്രി കൃത്യമായി സമാകലനം ചെയ്യാൻ മതിയായ പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനെ പൂർണ്ണ സമാകലനം എന്നും അതിനേക്കാൾ ഒരു ഘട്ടം കുറച്ച് പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനെ റിഡ്യൂസ്ഡ്-ഓർഡർ സമാകലനം എന്നും വിളിക്കുന്നു. റിഡ്യൂസ്ഡ്-ഓർഡർ സമാകലനം ഷിയർ, വോള്യൂമെട്രിക് ലോക്കിംഗ് എന്നിവ കുറയ്ക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാമെങ്കിലും, അവർഗ്ലാസ് മോഡ് പോലുള്ള കൃത്രിമ രൂപവ്യതിയാന മോഡുകളെ നിയന്ത്രിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഓരോ എലമെന്റ് തരത്തിനുമുള്ള സമാകലന പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം, പൂർണ്ണ/റിഡ്യൂസ്ഡ്-ഓർഡർ സമാകലനത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് എന്നിവ എലമെന്റ് നമ്പറിംഗ് സിസ്റ്റവും ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ ലൈബ്രറിയും എന്നതിനു ശേഷവും ഉയർന്ന പ്രകടനമുള്ള എലമെന്റ് ഫോർമുലേഷനുകൾ എന്നതിലും വിവരിക്കുന്നു.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ¶

ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സ്പേഷ്യൽ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ — ജാക്കോബിയന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ
ആന്തരികബല വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ — സംഖ്യാത്മക സമാകലനത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം
ഉയർന്ന പ്രകടനമുള്ള എലമെന്റ് ഫോർമുലേഷനുകൾ — റിഡ്യൂസ്ഡ്-ഓർഡർ സമാകലനത്തിന്റെ ഉപയോഗം