Skip to content

3-ഡൈമെൻഷണൽ സോളിഡ് എലമെന്റുകളുടെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ

ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളും ഫിനൈറ്റ് എലമെന്റ് അനുമാനവും എന്നതിൽ അവതരിപ്പിച്ച ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) സംബന്ധിച്ച്, FrontISTR കണ്ടിന്യുവം വിശകലനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന 3-ഡൈമെൻഷണൽ സോളിഡ് എലമെന്റുകളുടെ നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവും കൃത്യരൂപങ്ങളും ഈ അധ്യായത്തിൽ സമാഹരിക്കുന്നു. പരിഗണിക്കുന്ന ആറു തരങ്ങൾ: ടെട്രാഹീഡ്രൽ ഒന്നാം/രണ്ടാം ഓർഡർ (341, 342), ട്രയാംഗുലർ-പ്രിസം ഒന്നാം/രണ്ടാം ഓർഡർ (351, 352), ഹെക്സാഹീഡ്രൽ ഒന്നാം/രണ്ടാം ഓർഡർ (361, 362). HEC-MW മെഷ് ഫോർമാറ്റിലെ നോഡ് ക്രമവും ഉപരിതല നമ്പറും എലമെന്റ് ലൈബ്രറി-ൽ കാണുക.

ഈ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളും ജാക്കോബിയൻ ഡിറ്റർമിനന്റും ഉപയോഗിച്ച് എലമെന്റ് സമാകലനം നിർമ്മിക്കുന്ന നടപടിക്രമം സംഖ്യാത്മക സമാകലനം പിന്തുടരുന്നു. 361-ന്റെ B-bar, F-bar, ഇൻകമ്പാറ്റിബിൾ ഫോർമുലേഷനുകളും ബീം/ഷെൽ എലമെന്റുകളുടെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളും ഉയർന്ന പ്രകടനമുള്ള എലമെന്റ് ഫോർമുലേഷനുകൾ-ൽ വിവരിക്കുന്നു.

നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവും ആന്തരിക നോഡ് ക്രമവും

ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഓരോ എലമെന്റിന്റെയും നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റ് \(\boldsymbol{r}\)-ൽ നിർവചിക്കുന്നു. 3-ഡൈമെൻഷണൽ സോളിഡ് എലമെന്റുകളിൽ ആകൃതിക്ക് അനുസരിച്ച് താഴെപ്പറയുന്ന മൂന്ന് നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

  • ഹെക്സാഹീഡ്രോൺ (361, 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • ടെട്രാഹീഡ്രോൺ (341, 342): വോള്യൂമെട്രിക് കോഓർഡിനേറ്റുകൾ \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). സ്വതന്ത്ര ചരങ്ങളായി \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) എടുത്ത് \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) എന്ന് നിശ്ചയിക്കുന്നു.
  • ട്രയാംഗുലർ പ്രിസം (351, 352): അടിത്തറ ത്രികോണത്തിന്റെ വോള്യൂമെട്രിക് കോഓർഡിനേറ്റുകൾ \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) കൂടാതെ അക്ഷദിശാ കോഓർഡിനേറ്റ് \(\zeta \in [-1, 1]\) ചേർത്ത് \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) ആക്കുന്നു. സഹായ അളവ് \(a = 1 - \xi - \eta\) അടിത്തറയിലെ മൂന്നാം വോള്യൂമെട്രിക് കോഓർഡിനേറ്റായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒന്നാം-ഓർഡർ എലമെന്റുകളിൽ HEC-MW ഇൻപുട്ട് ഫോർമാറ്റും ആന്തരിക നോഡ് ക്രമവും ഒരുപോലെയാണ്. രണ്ടാം-ഓർഡർ എലമെന്റുകളിൽ എഡ്ജ് മിഡ്‌സൈഡ് നോഡുകളുടെ ക്രമനിയമം വ്യത്യസ്തമാണ്. FrontISTR ഇൻപുട്ടിൽ HEC-MW ഫോർമാറ്റ് സ്വീകരിക്കുന്നു — കോർണർ നോഡുകൾ ചുറ്റിയതിന് ശേഷം എഡ്ജ് 1-2, 2-3, … എന്ന ക്രമത്തിൽ മിഡ്‌സൈഡ് നോഡുകൾ — എന്നാൽ എലമെന്റ് ലൈബ്രറിയിലെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ മറ്റൊരു ആന്തരിക ക്രമം മുൻകൂട്ടി കരുതുന്നു.

മെഷ് വായിച്ച ഉടൻ വിളിക്കുന്ന hecmw2fstr_mesh_conv ഓരോ എലമെന്റിലും പുനഃക്രമീകരണം നടത്തിയാണ് വ്യത്യാസം പരിഹരിക്കുന്നത്. 3-ഡൈമെൻഷണൽ സോളിഡ് എലമെന്റുകളിൽ പരിവർത്തനത്തിന് വിധേയമായത് താഴെയുള്ള രണ്ട് തരങ്ങളാണ്.

എലമെന്റ് തരം പരിവർത്തന പട്ടിക വിവരണം
342 (ടെട്രാഹീഡ്രൽ രണ്ടാം-ഓർഡർ) Table342 10 നോഡുകളെ \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) എന്ന ക്രമത്തിൽ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു
352 (ട്രയാംഗുലർ-പ്രിസം രണ്ടാം-ഓർഡർ) Table352 15 നോഡുകളെ \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) എന്ന ക്രമത്തിൽ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു

പുനഃക്രമീകരണം എലമെന്റ് കണക്റ്റിവിറ്റി സംഭരിക്കുന്ന അറേയിൽ നേരിട്ട് നടക്കുന്നതിനാൽ, തുടർന്ന് വരുന്ന എല്ലാ എലമെന്റ്-ലൈബ്രറി വിളികളും FrontISTR ആന്തരിക നോഡ് ക്രമമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഹെക്സാഹീഡ്രൽ രണ്ടാം-ഓർഡർ എലമെന്റ് 362-ൽ HEC-MW ഇൻപുട്ട് ഫോർമാറ്റും FrontISTR ആന്തരിക ഫോർമാറ്റും ഒരേ മിഡ്‌സൈഡ് നോഡ് ക്രമം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ പരിവർത്തന പട്ടികയില്ല. ഫല ഔട്ട്‌പുട്ടിൽ വിപരീത പരിവർത്തനമായ fstr2hecmw_mesh_conv വിളിച്ച് HEC-MW നോഡ് ക്രമത്തിലേക്ക് മടക്കിയശേഷം എഴുതുന്നു. അതിനാൽ ഇൻപുട്ടിലും ഔട്ട്‌പുട്ടിലും ഉപയോക്താവിന് HEC-MW ഫോർമാറ്റ് മാത്രം ശ്രദ്ധിച്ചാൽ മതി. താഴെ കാണുന്ന ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നോഡ് നമ്പറുകൾ പരിവർത്തനത്തിനു ശേഷമുള്ള FrontISTR ആന്തരിക ഫോർമാറ്റ് അനുസരിച്ചുള്ളവയാണ്.

ഒന്നാം-ഓർഡർ എലമെന്റുകളുടെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ

ടെട്രാഹീഡ്രൽ ഒന്നാം-ഓർഡർ എലമെന്റ് (341)-ന്റെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ വോള്യൂമെട്രിക് കോഓർഡിനേറ്റുകൾ തന്നെയാണ്:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

ട്രയാംഗുലർ-പ്രിസം ഒന്നാം-ഓർഡർ എലമെന്റ് (351)-ന്റെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ അടിത്തറ ത്രികോണത്തിലെ രേഖീയ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ (\(a, \xi, \eta\)) കൂടാതെ അക്ഷദിശയിലെ രേഖീയ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) എന്നിവയുടെ ഗുണിതമാണ്:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

ഹെക്സാഹീഡ്രൽ ഒന്നാം-ഓർഡർ എലമെന്റ് (361)-ന്റെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ മൂന്ന് അക്ഷദിശകളിലെയും രേഖീയ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ടെൻസർ ഗുണിതമാണ്:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

ഇവിടെ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) നോഡ് \(\alpha\)-യുടെ നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റ് മൂല്യങ്ങളാണ്; ഓരോ ഘടകവും \(\pm 1\) ആണ്.

രണ്ടാം-ഓർഡർ എലമെന്റുകളുടെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ

ടെട്രാഹീഡ്രൽ രണ്ടാം-ഓർഡർ എലമെന്റ് (342)-ന്റെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ നാല് കോർണർ നോഡുകളും ആറ് എഡ്ജ് മിഡ്‌സൈഡ് നോഡുകളും ആയി വിഭജിക്കുന്നു:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

മിഡ്‌സൈഡ് നോഡുകൾ 5–10 യഥാക്രമം എഡ്ജുകൾ 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, 3-4 എന്നിവയുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളോട് അനുബന്ധിക്കുന്നു.

ട്രയാംഗുലർ-പ്രിസം രണ്ടാം-ഓർഡർ എലമെന്റ് (352)-ന്റെ ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ആറ് കോർണർ നോഡുകൾ, ത്രികോണ ഉപരിതലങ്ങളിലെ ആറ് എഡ്ജ് മിഡ്‌സൈഡ് നോഡുകൾ, അക്ഷദിശാ എഡ്ജുകളിലെ മൂന്ന് മിഡ്‌സൈഡ് നോഡുകൾ എന്നിവകൊണ്ടാണ് രൂപപ്പെടുന്നത്:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

മിഡ്‌സൈഡ് നോഡുകൾ 7–9 അടിത്തറ ത്രികോണത്തിലെ (\(\zeta = -1\)) ഓരോ എഡ്ജിന്റെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ; 10–12 മുകളിലെ ത്രികോണത്തിലെ (\(\zeta = +1\)) ഓരോ എഡ്ജിന്റെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ; 13–15 അക്ഷദിശാ എഡ്ജുകളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ ആണ്.

ഹെക്സാഹീഡ്രൽ രണ്ടാം-ഓർഡർ എലമെന്റ് (362) Serendipity കുടുംബത്തിലെ 20-നോഡ് എലമെന്റാണ്. നോഡ് \(\alpha\)-യുടെ നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റുകൾ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) എന്ന് വയ്ക്കുക. കോർണർ നോഡുകൾക്ക് (\(\alpha = 1, \ldots, 8\); ഓരോ ഘടകവും \(\pm 1\)):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

എഡ്ജ് മിഡ്‌സൈഡ് നോഡുകൾക്ക് (\(\alpha = 9, \ldots, 20\); മൂന്ന് നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റുകളിൽ ഒന്ന് \(0\), ബാക്കി രണ്ട് \(\pm 1\)), \(\xi_\alpha = 0\) ആയ നോഡിന് — എഡ്ജ് ദിശ \(\xi\) അക്ഷം —

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

എഡ്ജ് ദിശ \(\eta\) അക്ഷമോ \(\zeta\) അക്ഷമോ ആയ മിഡ്‌സൈഡ് നോഡുകൾക്കും ഇതേപോലെ അനുബന്ധ നാചുറൽ കോഓർഡിനേറ്റിനെ വർഗപദം ഉപയോഗിച്ച് ഒഴിവാക്കിയ രൂപമാണ്.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ