ചലനം, രൂപവ്യതിയാനം, സ്ട്രെയിൻ¶

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനും നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനും¶

കോൺഫിഗറേഷന്റെ നിർവചനം¶

ഭൗതിക അളവുകൾ വിവരണം ചെയ്യുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തെ ആകൃതിയാണ് അടിസ്ഥാനമാക്കുന്നതെന്ന് വേർതിരിക്കാൻ ഈ മാനുവൽ രണ്ട് തരത്തിലുള്ള കോൺഫിഗറേഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ (reference configuration): വിശകലനം ആരംഭിക്കുന്ന സമയം (സമയം \(0\)) ഉള്ള രൂപവ്യതിയാനത്തിന് മുൻപുള്ള ആകൃതി; ഇത് പ്രാരംഭ കോൺഫിഗറേഷൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു. റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ പോയിന്റ് മെറ്റീരിയൽ കോഓർഡിനേറ്റ് \(\boldsymbol{X}\) ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു; വോള്യം \(V\), ഉപരിതലം \(S\) എന്ന് രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.
നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ (current configuration): സമയം \(t\)-ലുള്ള രൂപവ്യതിയാനത്തിനു ശേഷമുള്ള ആകൃതി. നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ പോയിന്റ് സ്പേഷ്യൽ കോഓർഡിനേറ്റ് \(\boldsymbol{x}\) ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു; വോള്യം \(v\), ഉപരിതലം \(s\) എന്ന് രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.

ചലനം ഈ രണ്ട് കോൺഫിഗറേഷനുകൾക്കിടയിലെ മാപ്പിംഗ് \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു; സ്ഥാനചലനം \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു.

കോൺഫിഗറേഷനെ ആശ്രയിക്കുന്ന ചിഹ്നനിയമം (വലിയ/ചെറിയ അക്ഷരം)¶

ഭൗതിക അളവ് ഏത് കോൺഫിഗറേഷനിലാണെന്ന് ചിഹ്നത്തിന്റെ വലിയ/ചെറിയ അക്ഷരരൂപം ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കുന്നു.

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലുള്ള അളവുകൾ വലിയ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രേഖപ്പെടുത്തുന്നു (ഉദാ. \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലുള്ള അളവുകൾ ചെറിയ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രേഖപ്പെടുത്തുന്നു (ഉദാ. \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
ഒന്നാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{P}\) പോലുള്ള രണ്ടു കോൺഫിഗറേഷനുകളെയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന അളവുകൾക്ക് പതിവ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമായിടത്ത് വിശദീകരിക്കുന്നു.
ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന സിദ്ധാന്തത്തിൽ രണ്ടു കോൺഫിഗറേഷനുകളുടെ വ്യത്യാസം ഇല്ലാതാകുന്നതിനാൽ ചെറിയ അക്ഷരങ്ങളായ \(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\) മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ ഗ്രേഡിയന്റും നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ ഗ്രേഡിയന്റും¶

സ്പേഷ്യൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഏത് കോൺഫിഗറേഷനെ സംബന്ധിച്ചാണ് എടുക്കുന്നതെന്നതനുസരിച്ച് ചിഹ്നവും അർത്ഥവും വ്യത്യസ്തമാണ്.

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ ഗ്രേഡിയന്റ് \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): മെറ്റീരിയൽ കോഓർഡിനേറ്റിനെ സംബന്ധിച്ച ഗ്രേഡിയന്റ്. ഉദാ. \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ ഗ്രേഡിയന്റ് \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): സ്പേഷ്യൽ കോഓർഡിനേറ്റിനെ സംബന്ധിച്ച ഗ്രേഡിയന്റ്. ഉദാ. \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

ഇവ തമ്മിൽ \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) എന്ന ബന്ധമുണ്ട്. സമയ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിയമത്തിന് (മെറ്റീരിയൽ സമയ ഡെറിവേറ്റീവ് \(\dot{(\cdot)}\)) ടെൻസർ നോട്ടേഷനും ഗണിത അടിസ്ഥാനവും കാണുക.

ചലനത്തിന്റെ വിവരണം¶

ചലന മാപ്പിംഗും മെറ്റീരിയൽ/സ്പേഷ്യൽ വിവരണങ്ങളും¶

സമയം \(0\)-ലെ സ്ഥാനം \(\boldsymbol{X}\) ലേബലായി ഉപയോഗിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ സമുച്ചയമായി കണ്ടിന്യുവത്തെ കണക്കാക്കിയാൽ, ചലനം മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റ് \(\boldsymbol{X}\)-നെ സമയം \(t\)-ലെ സ്ഥാനം \(\boldsymbol{x}\)-യുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മാപ്പിംഗ് \(\phi\) ഉപയോഗിച്ച്

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

എന്ന് എഴുതാം. റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ പ്രാരംഭ കോൺഫിഗറേഷനായി സ്വീകരിക്കുന്ന നിയമത്തിൽ \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) ആണ്.

സ്വതന്ത്ര ചരം എങ്ങനെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു എന്നതനുസരിച്ച് രണ്ട് വിവരണങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്നു.

മെറ്റീരിയൽ വിവരണം (Lagrange വിവരണം): ഭൗതിക അളവുകൾ \((\boldsymbol{X}, t)\)-ന്റെ ഫംഗ്ഷനായി രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. സോളിഡ് മെക്കാനിക്സിൽ റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ സ്ഥിര ആകൃതിയായി നൽകിയിരിക്കുന്നതിനാൽ ഇത് സ്വാഭാവികമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പാണ്.
സ്പേഷ്യൽ വിവരണം (Euler വിവരണം): ഭൗതിക അളവുകൾ \((\boldsymbol{x}, t)\)-ന്റെ ഫംഗ്ഷനായി രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ഫ്ലൂയിഡ് മെക്കാനിക്സിൽ ഇത് സാധാരണ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

FrontISTR-ന്റെ ഘടനാ വിശകലനം അടിസ്ഥാനപരമായി മെറ്റീരിയൽ വിവരണത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നു. എന്നാൽ Updated Lagrange രീതിയിൽ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ പുതിയ റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ സ്പേഷ്യൽ വിവരണത്തിലെ അളവുകളും ഒരുമിച്ച് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സ്ഥാനചലനം, വേഗം, ത്വരണം¶

സ്ഥാനചലനം \(\boldsymbol{u}\) മുൻവിഭാഗത്തിലെ പോലെ \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു. അതിന്റെ വലുപ്പത്തെക്കുറിച്ച് മുൻകൂർ അനുമാനം ചെയ്യാതെ ഫിനൈറ്റ് രൂപവ്യതിയാനം വരെ പരിഗണിക്കുന്നു. വേഗ വെക്റ്ററും ത്വരണ വെക്റ്ററും മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റ് സ്ഥിരമായി പിന്തുടർന്ന് \(\boldsymbol{u}\)-യുടെ മെറ്റീരിയൽ സമയ ഡെറിവേറ്റീവുകളായി

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു.

രൂപവ്യതിയാന ഗ്രേഡിയന്റും രൂപവ്യതിയാന ടെൻസറുകളും¶

രൂപവ്യതിയാന ഗ്രേഡിയന്റ് ടെൻസർ¶

ഫിനൈറ്റ് രൂപവ്യതിയാന കണ്ടിന്യുവം മെക്കാനിക്സിലെ അടിസ്ഥാന അളവാണ് രൂപവ്യതിയാന ഗ്രേഡിയന്റ് ടെൻസർ \(\boldsymbol{F}\). ഇത് റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ സൂക്ഷ്മ രേഖാഖണ്ഡം \(d\boldsymbol{X}\) നെ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ സൂക്ഷ്മ രേഖാഖണ്ഡം \(d\boldsymbol{x}\) ആയി മാപ്പ് ചെയ്യുന്ന രേഖീയ മാപ്പാണ്. ചലന മാപ്പിംഗിന്റെ മെറ്റീരിയൽ കോഓർഡിനേറ്റ് ഗ്രേഡിയന്റായി

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). രൂപവ്യതിയാനം ഇല്ലാത്ത നിലയിൽ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) ആണ്. സ്ട്രെയിൻ, സ്ട്രെസ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിലും കോൺഫിഗറേഷനുകൾക്കിടയിലെ ഭൗതിക അളവുകളുടെ പരിവർത്തനത്തിലും \(\boldsymbol{F}\) വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വോള്യം മാറ്റത്തിന്റെ അനുപാതം¶

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ സൂക്ഷ്മ വോള്യം \(dV\)-ക്കും നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ സൂക്ഷ്മ വോള്യം \(dv\)-ക്കും ഇടയിലെ അനുപാതത്തെ വോള്യം മാറ്റത്തിന്റെ അനുപാതം \(J\) എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

കണ്ടിന്യുവത്തിന്റെ റിവേഴ്സിബിലിറ്റിയിൽ നിന്ന് \(J > 0\) എന്ന് കരുതുന്നു. മാസ് സംരക്ഷണ നിയമം \(\rho_0 = J\rho\) എന്ന് രേഖപ്പെടുത്താം.

വലത്/ഇടത് Cauchy-Green രൂപവ്യതിയാന ടെൻസറുകൾ¶

രൂപവ്യതിയാന ഗ്രേഡിയന്റ് \(\boldsymbol{F}\)-ൽ റിജിഡ്-ബോഡി റൊട്ടേഷൻ ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ രൂപവ്യതിയാനം തന്നെയളക്കാൻ റിജിഡ് റൊട്ടേഷൻ ഒഴിവാക്കിയ അളവുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. വലത് Cauchy-Green രൂപവ്യതിയാന ടെൻസർ \(\boldsymbol{C}\) (റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ), ഇടത് Cauchy-Green രൂപവ്യതിയാന ടെൻസർ \(\boldsymbol{b}\) (നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ) എന്നിവ

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു. രണ്ടും സമമിത ടെൻസറുകളാണ്; ഒരേ ഐഗൻവാല്യുകൾ — പ്രധാന സ്ട്രെച്ച് അനുപാതങ്ങളുടെ വർഗങ്ങൾ — ഉണ്ട്. ഹൈപ്പർഇലാസ്റ്റിക് സ്ട്രെയിൻ എനർജി ഫംഗ്ഷന്റെ പ്രധാന ഇൻവേറിയന്റുകൾ ഇവ ഉപയോഗിച്ച് നിർവചിക്കുന്നു.

സ്ട്രെയിൻ ടെൻസറുകൾ¶

Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ ടെൻസർ¶

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സ്ട്രെയിൻ അളവായി Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ ടെൻസർ \(\boldsymbol{E}\) നെ

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു. ഇത് റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ സൂക്ഷ്മ വെക്റ്ററുകളുടെ ഇൻറർ പ്രോഡക്റ്റിലെ മാറ്റം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സമമിത ടെൻസറാണ്; റിജിഡ്-ബോഡി റൊട്ടേഷനോട് ഇൻവേറിയന്റും രൂപവ്യതിയാനം ഇല്ലാത്തപ്പോൾ \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) ഉം ആണ്. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ഉപയോഗിച്ചാൽ

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

എന്ന് സ്ഥാനചലന ഗ്രേഡിയന്റിന്റെ ഒന്നാം-ഓർഡർ, രണ്ടാം-ഓർഡർ പദങ്ങളുടെ സമമായി എഴുതാം. രണ്ടാം-ഓർഡർ പദം ജ്യാമിതീയ രേഖീയമല്ലായ്മയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. Total Lagrange രീതിയിൽ സ്ട്രെസ്-കോൺജുഗേറ്റ് ജോഡി \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ആയി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

Almansi സ്ട്രെയിൻ ടെൻസർ¶

നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ സ്ട്രെയിൻ അളവായി Almansi സ്ട്രെയിൻ ടെൻസർ \(\boldsymbol{e}\) നെ

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു. Green-Lagrange സ്ട്രെയിനുമായുള്ള ബന്ധം \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (പുൾബാക്ക്) ആണ്.

ചെറിയ സ്ട്രെയിൻ ടെൻസർ¶

സ്ഥാനചലന ഗ്രേഡിയന്റ് ചെറുതായാൽ (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange സ്ട്രെയിനിലെ രണ്ടാം-ഓർഡർ പദം അവഗണിക്കാം. കൂടാതെ രണ്ടു കോൺഫിഗറേഷനുകളുടെയും വ്യത്യാസം ഇല്ലാതാകുന്നതിനാൽ ഗ്രേഡിയന്റ് സ്പേഷ്യൽ കോഓർഡിനേറ്റിൽ എഴുതിയ ചെറിയ സ്ട്രെയിൻ ടെൻസർ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ആയി ചുരുങ്ങുന്നു:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR-ന്റെ രേഖീയ സ്റ്റാറ്റിക് വിശകലനം, മോഡ് വിശകലനം, ആവൃത്തി പ്രതികരണ വിശകലനം, രേഖീയ ഡൈനാമിക് വിശകലനം എന്നിവയിൽ ഈ സ്ട്രെയിൻ അളവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഫിനൈറ്റ് രൂപവ്യതിയാന വിശകലനത്തിൽ Total Lagrange രീതിയിൽ \(\boldsymbol{E}\) ഉം Updated Lagrange രീതിയിൽ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ രൂപവ്യതിയാന-റേറ്റ് ടെൻസർ \(\boldsymbol{D}\) ഉം ഉപയോഗിക്കുന്നു.