Skip to content

സ്ട്രെസും സംരക്ഷണ നിയമങ്ങളും

ഈ അധ്യായത്തിൽ സ്ട്രെസ് ടെൻസറുകളുടെ നിർവചനവും പരസ്പരബന്ധവും, മാസ്, ലീനിയർ മോമെന്റം, ആംഗുലർ മോമെന്റം എന്നിവയുടെ സംരക്ഷണ നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന സമതുലിത സമവാക്യങ്ങളും സ്ട്രെസ് സമമിതിയും ക്രമീകരിക്കുന്നു. മൂന്ന് സ്ട്രെസ് ടെൻസറുകൾ—Cauchy സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{\sigma}\), ഒന്നാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{P}\), രണ്ടാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\)—റഫറൻസ് ഉപരിതലത്തിനും ബല വെക്റ്ററിനും ഏത് കോൺഫിഗറേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്ന വ്യത്യാസം അനുസരിച്ചാണ് അവതരിപ്പിക്കുന്നത്. കോൺഫിഗറേഷൻ, ചലനം, രൂപവ്യതിയാന ഗ്രേഡിയന്റ് എന്നിവയ്ക്ക് ചലനം, രൂപവ്യതിയാനം, സ്ട്രെയിൻ, ചിഹ്നങ്ങളുടെ പട്ടികയ്ക്ക് ഭൗതിക അളവുകളുടെ ചിഹ്നപ്പട്ടിക കാണുക.

Cauchy സ്ട്രെസ് ടെൻസർ

നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ \(\boldsymbol{x}\) എന്ന ബിന്ദുവിൽ, വിസ്തീർണം \(d\Gamma\) ഉം പുറംവശത്തേക്കുള്ള ഏകക നോർമൽ \(\boldsymbol{n}\) ഉം ഉള്ള ചെറിയ ഉപരിതലത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലം \(d\boldsymbol{f}\) എന്നു വക്കുക. ട്രാക്ഷൻ വെക്റ്റർ \(\boldsymbol{t}\) നെ ഏകക വിസ്തീർണത്തേക്കുള്ള ബലമായി \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) കൊണ്ട് നിർവചിക്കുന്നു. \(\boldsymbol{t}\) സ്ഥാനം \(\boldsymbol{x}\) നെയും നോർമൽ \(\boldsymbol{n}\) നെയും ആശ്രയിക്കുന്നു. ചെറിയ ടെട്രാഹീഡ്രോണിൽ മോമെന്റം സംരക്ഷണ നിയമം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\) നോടുള്ള രേഖീയ ഫംഗ്ഷനാകുകയും രണ്ടാം ക്രമ ടെൻസർ \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) നിലവിലുണ്ടാകുകയും ചെയ്യുന്നു:

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ഇത് ഏതു \(\boldsymbol{n}\) നും സാധുവാണ് (Cauchy സ്ട്രെസ് സിദ്ധാന്തം). ഈ \(\boldsymbol{\sigma}\) നെ Cauchy സ്ട്രെസ് ടെൻസർ എന്നു വിളിക്കുന്നു; നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷന്റെ ജ്യാമിതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഏകക വിസ്തീർണത്തിലെ ബലം എന്ന അർത്ഥത്തിൽ ട്രൂ സ്ട്രെസ് എന്നും പറയുന്നു. \(\sigma_{ij}\) എന്ന ഘടകം നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിൽ \(x_j\) അക്ഷത്തിന് ലംബമായ ചെറിയ ഉപരിതലത്തിന്റെ ഏകക വിസ്തീർണത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലത്തിന്റെ \(x_i\) ഘടകമാണ്.

താഴെ പറയുന്ന ആംഗുലർ മോമെന്റം സംരക്ഷണനിയമത്തിൽ നിന്ന് Cauchy സ്ട്രെസ് സമമിത ടെൻസറാണ്:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ത്രിമാനത്തിൽ ഇതിന് ആറു സ്വതന്ത്ര ഘടകങ്ങളുണ്ട് (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Voigt രേഖപ്പെടുത്തലിലെ സ്ട്രെസ് വെക്റ്ററീകരണം ഈ സമമിതി മുൻകൂർ ധരിക്കുന്നു (ടെൻസർ നോട്ടേഷനും ഗണിത അടിസ്ഥാനങ്ങളും കാണുക). FrontISTR-ൽ Updated Lagrange രീതിയിലുള്ള ജ്യാമിതീയ രേഖീയമല്ലാത്ത വിശകലനത്തിന്റെയും ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന വിശകലനത്തിന്റെയും സ്ട്രെസ് ഔട്ട്പുട്ടിൽ Cauchy സ്ട്രെസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒന്നാം, രണ്ടാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസുകൾ

പരിമിത രൂപവ്യതിയാനത്തിൽ റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനെ ഉപരിതലത്തിന്റെയും വെക്റ്ററിന്റെയും അടിസ്ഥാനമായി ഉപയോഗിച്ച് സ്ട്രെസ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത് പലപ്പോഴും സൗകര്യപ്രദമാണ്; അതിനായി രണ്ടു Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് ടെൻസറുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ ചെറിയ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണം \(d\Gamma_0\), പുറംവശത്തേക്കുള്ള ഏകക നോർമൽ \(\boldsymbol{N}\) എന്നു വക്കുക.

ഒന്നാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് (ഒന്നാം PK സ്ട്രെസ്, നോമിനൽ സ്ട്രെസ്) \(\boldsymbol{P}\), നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ ബലം \(d\boldsymbol{f}\) റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ ചെറിയ ഉപരിതലത്തിൽ പ്രവർത്തിപ്പിക്കുമ്പോഴുള്ള സ്ട്രെസ് ടെൻസറായി നിർവചിക്കുന്നു:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nanson സൂത്രം \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) ഉം Cauchy സ്ട്രെസ് സിദ്ധാന്തവും ഉപയോഗിച്ച് Cauchy സ്ട്രെസുമായുള്ള ബന്ധം ലഭിക്കുന്നു:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

ഒന്നാം PK സ്ട്രെസ് സാധാരണയായി അസമമിത ടെൻസറാണ്.

രണ്ടാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് (രണ്ടാം PK സ്ട്രെസ്) \(\boldsymbol{S}\), നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ ബലം \(d\boldsymbol{f}\) നെ \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ഉപയോഗിച്ച് റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലേക്ക് പുൾ-ബാക്ക് ചെയ്ത് അവിടെയുള്ള ചെറിയ ഉപരിതലത്തിൽ പ്രവർത്തിപ്പിക്കുമ്പോഴുള്ള സ്ട്രെസ് ടെൻസറായി നിർവചിക്കുന്നു:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ബല വെക്റ്ററും പ്രവർത്തന ഉപരിതലവും രണ്ടും റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷന്റെ അളവുകളായി രേഖപ്പെടുത്തപ്പെടുന്നു; അതിനാൽ ഇത് റിജിഡ് ബോഡി റൊട്ടേഷനോട് അവികാരവും സമമിതവുമായ ടെൻസറാണ്. ഒന്നാം PK സ്ട്രെസുമായുള്ള ബന്ധവും Cauchy സ്ട്രെസുമായുള്ള പരിവർത്തനസൂത്രങ്ങളും:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

രണ്ടാം PK സ്ട്രെസ് ഹൈപ്പർഇലാസ്റ്റിക് സ്ട്രെയിൻ എനർജി ഫംഗ്ഷൻ \(W(\boldsymbol{C})\) ൽ നിന്ന് \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) ആയി ലഭിക്കുന്നു. Total Lagrange രീതിയിൽ ഇത് Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{E}\) നോടൊപ്പമുള്ള പ്രവൃത്തി-സംയുഗ്മ ജോടി \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ആയി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനും സമമിതിയും താഴെപ്പട്ടികയിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന പരിധിയിൽ (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) മൂന്ന് സ്ട്രെസുകളും ഒത്തുപോകുന്നു.

സ്ട്രെസ് ടെൻസർ റഫറൻസ് ഉപരിതലം ബല വെക്റ്റർ സമമിതി ഉപയോഗം
Cauchy സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{\sigma}\) നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ \(d\boldsymbol{f}\) സമമിതം Updated Lagrange രീതി, ചെറിയ രൂപവ്യതിയാന വിശകലനം
ഒന്നാം PK സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{P}\) റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ \(d\boldsymbol{f}\) സാധാരണയായി അസമമിതം റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ സമതുലിത സമവാക്യം
രണ്ടാം PK സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\) റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) സമമിതം Total Lagrange രീതി, ഹൈപ്പർഇലാസ്റ്റിസിറ്റി

മാസ്-മോമെന്റം സംരക്ഷണ നിയമങ്ങളും സമതുലിത സമവാക്യവും

നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ മാസ് സാന്ദ്രത \(\rho\), റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ മാസ് സാന്ദ്രത \(\rho_0\) എന്നു വച്ചാൽ, മാസ് സംരക്ഷണനിയമം \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), വോള്യം ഘടകത്തിന്റെ പരിവർത്തനം \(dv = J\, dV\) ഉപയോഗിച്ച് താഴെക്കാണുന്ന ലോക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു:

\[ \rho_0 = J \rho \]

ഇതായിത്തീരുന്നു.

ഏകക മാസിൻറെ ബോഡി ഫോഴ്സ് \(\boldsymbol{g}\), ത്വരണം \(\boldsymbol{a}\) എന്നു വച്ച്, മോമെന്റം സംരക്ഷണനിയമത്തിൽ (Euler-ന്റെ ഒന്നാം ചലനനിയമം) Cauchy സ്ട്രെസ് സിദ്ധാന്തവും Gauss ഡൈവെർജൻസ് സിദ്ധാന്തവും പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ ലോക്കൽ സമതുലിത സമവാക്യം (ചലനസമവാക്യം) ലഭിക്കുന്നു:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Nanson സൂത്രവും \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) ഉം ഉപയോഗിച്ച് റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ സമാകലനമായി പുനഃരേഖപ്പെടുത്തിയാൽ അവിടത്തെ ലോക്കൽ രൂപം:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

ലഭിക്കുന്നു. സ്ട്രെസ് പരിവർത്തനനിയമവും \(\rho_0 = J\rho\) ഉം മൂലം രണ്ടു രൂപങ്ങളും സമാനമാണ്. ജഡത്വ പദം അവഗണിച്ചാൽ:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

ഇവ സ്റ്റാറ്റിക് സമതുലിത സമവാക്യങ്ങളാണ്; FrontISTR-ന്റെ രേഖീയവും രേഖീയമല്ലാത്തതുമായ സ്റ്റാറ്റിക് വിശകലനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സമവാക്യങ്ങളുമാണ്.

ആംഗുലർ മോമെന്റം സംരക്ഷണവും സ്ട്രെസ് സമമിതിയും

ആംഗുലർ മോമെന്റം സംരക്ഷണനിയമം (Euler-ന്റെ രണ്ടാം ചലനനിയമം) മോമെന്റം സംരക്ഷണത്തിൽ നിന്നുള്ള സമതുലിത സമവാക്യവുമായി ചേർത്താൽ Cauchy സ്ട്രെസ് ടെൻസറിന്റെ സമമിതി ലഭിക്കുന്നു:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ത്രിമാനത്തിൽ ഇതിന് ആറു സ്വതന്ത്ര ഘടകങ്ങളുണ്ട്. \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) എന്ന പരിവർത്തനസൂത്രത്തിന്റെ ഇരുവശവും ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്യുകയും \(\boldsymbol{F}\) ന്റെ നോൺസിംഗുലാരിറ്റി ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്താൽ രണ്ടാം PK സ്ട്രെസും സമമിതമാണെന്ന് ലഭിക്കുന്നു:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ഇതിനും ആറു സ്വതന്ത്ര ഘടകങ്ങളുണ്ട്. മറുവശത്ത്, ഒന്നാം PK സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) സാധാരണയായി സമമിതമല്ല; \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) എന്ന ബന്ധം മാത്രമേ സാധുവാകൂ (അഥവാ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) സമമിതമാണ്), അതിനാൽ സ്വതന്ത്ര ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം 9 ആണ്.

ഈ സമമിതികളാണ് Voigt രേഖപ്പെടുത്തലിൽ സ്ട്രെസിനെ ആറുഘടക വെക്റ്ററായി എഴുതാനുള്ള അടിസ്ഥാനധാരണം. Voigt രേഖപ്പെടുത്തൽ നിയമങ്ങളും മെറ്റീരിയൽ മാട്രിക്സ് നിർമ്മാണവും സംബന്ധിച്ച് ടെൻസർ നോട്ടേഷനും ഗണിത അടിസ്ഥാനങ്ങളും, രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി കാണുക.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ