Skip to content

വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തം

സ്ട്രെസും സംരക്ഷണ നിയമങ്ങളും എന്നതിൽ ലഭിച്ച സമതുലിത സമവാക്യവും അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളും അടിസ്ഥാനമാക്കി തുടർച്ചാ യാന്ത്രികശാസ്ത്രത്തിലെ അതിർത്തി-മൂല്യം പ്രശ്നത്തിന്റെ ദുർബല രൂപം ആയ വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തം അവതരിപ്പിക്കുന്നു. പരിമിത എലമെന്റ് ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ ഈ ദുർബല രൂപത്തിൽ നിന്നാണ് ആരംഭിക്കുന്നത്. ഈ അധ്യായത്തിൽ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ (Cauchy സ്ട്രെസ്, Almansi സ്ട്രെയിന്റെ രേഖീയ ഭാഗം)യും റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ (2-ാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ്, Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ)യും ഉപയോഗിച്ചുള്ള രണ്ടു രൂപങ്ങളും അവതരിപ്പിച്ച് അവ തുല്യമാണെന്ന് കാണിക്കുകയും തുടർന്ന് ചെറുരൂപവ്യതിയാന രൂപത്തിലേക്കുള്ള പരിമിതി പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

സമതുലിത സമവാക്യവും അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളും

തുടർച്ചാ മാധ്യമത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന വസ്തു ബലം (ഒരു യൂണിറ്റ് ദ്രവ്യമാനത്തിന്) \(\boldsymbol{g}\) ആയി എടുത്ത് നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിൽ \(\Omega\) പ്രദേശം കൈവശം വയ്ക്കുന്ന ഒരു വസ്തു പരിഗണിക്കുക. അതിർത്തി \(\Gamma\) നെ സ്ഥാനചലനം \(\bar{\boldsymbol{u}}\) ആയി നിർദ്ദേശിച്ച ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി \(\Gamma_B\) എന്നും ഉപരിതലം ട്രാക്ഷൻ \(\bar{\boldsymbol{t}}\) ആയി നിർദ്ദേശിച്ച യാന്ത്രിക അതിർത്തി \(\Gamma_t\) എന്നും വിഭജിച്ച് \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\), \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\) എന്നു കരുതുന്നു. സ്ഥിര പ്രശ്നത്തിൽ സ്ട്രെസും സംരക്ഷണ നിയമങ്ങളും എന്നതിലെ സംവേഗ സംരക്ഷണം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ജഡത്വ പദം ഒഴിവാക്കി ലഭിക്കുന്ന

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

എന്നതിനെ സമതുലിത സമവാക്യമായി എടുക്കുന്നു. അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

എന്നിങ്ങനെ നൽകുന്നു. തുടർന്നു വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ സിദ്ധാന്തം സമതുലിത സമവാക്യത്തിന്റെയും യാന്ത്രിക അതിർത്തി വ്യവസ്ഥ \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\)-ന്റെയും ദുർബല രൂപം ആയി വ്യുത്പാദിപ്പിക്കുന്നു. ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) പരീക്ഷണ ഫംഗ്ഷന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിലൂടെ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നു.

നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ ദുർബല രൂപം

ദുർബല രൂപത്തിൽ അജ്ഞാത സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ അനുവദനീയ സ്പേസും ടെസ്റ്റ്-ഫംഗ്ഷൻ സ്പേസും യഥാക്രമം

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു. ഇവിടെ \(d\) സ്ഥാനിക പരിമാണം ആണ്; \(H^1(\Omega)\) 1-ാം ദുർബല അവകലനം വരെ വർഗ്ഗ-സമാകലനയോഗ്യമായ ആയ Sobolev സ്പേസ് ആണ്; \(\delta\) വ്യതിയാനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിലവിലെ-കോൺഫിഗറേഷൻ രൂപത്തിൽ \(\Omega\) രൂപവ്യതിയാനത്തിനു ശേഷമുള്ള കോൺഫിഗറേഷൻ ആണ്; യഥാർത്ഥ സംഖ്യാത്മക പരിഹാരത്തിൽ ഇത് റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ അല്ലെങ്കിൽ അറിയാവുന്ന ഇടനില കോൺഫിഗറേഷനിലേക്ക് പുൾ-ബാക്ക് ചെയ്ത് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

സമതുലിത സമവാക്യത്തിന് വെയ്റ്റ് \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ഗുണിച്ച് Gauss വ്യതിചലന സിദ്ധാന്തവും യാന്ത്രിക അതിർത്തി വ്യവസ്ഥയും പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം താഴെപ്പറയുന്ന രൂപം നേടുന്നു.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

ഇവിടെ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) എന്നത് Almansi സ്ട്രെയിൻ ടെൻസറിന്റെ രേഖീയ ഭാഗം ആണ്,

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

എന്നിങ്ങനെ നിർവചിക്കുന്നു. അതിന്റെ വ്യതിയാനം \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) ആണ്. അതായത് \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) കണ്ടെത്തി, ഏതു \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)-നും വിർച്വൽ വർക്ക് സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെടുന്നു. ഇടത് വശം ആന്തരികബലം വിർച്വൽ വർക്കും വലത് വശം നിർദ്ദിഷ്ട ഉപരിതലം ട്രാക്ഷൻ, വസ്തു ബലം എന്നിവ മൂലമുള്ള ബാഹ്യബലം വിർച്വൽ വർക്കും ആണ്.

ഈ സമവാക്യം രൂപവ്യതിയാനത്തിനു ശേഷമുള്ള നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിൽ എഴുതിയതിനാൽ യഥാർത്ഥ പരിഹാരത്തിൽ ആരംഭ കോൺഫിഗറേഷൻ \(\Omega_0\) (റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ) അല്ലെങ്കിൽ അറിയാവുന്ന ഇടനില കോൺഫിഗറേഷൻ റഫറൻസ് ആയി തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ഇൻക്രിമെന്റൽ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റിയശേഷം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കൽ (Total Lagrange / Updated Lagrange), ഇൻക്രിമെന്റൽ വിഘടനം എന്നിവയ്ക്ക് ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനം ചട്ടക്കൂട് കാണുക.

ആരംഭ/റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ ദുർബല രൂപം

റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിൽ \(\Omega_0\) പ്രദേശം കൈവശം വയ്ക്കുന്ന വസ്തു പരിഗണിച്ച് അതിർത്തി \(\Gamma_0\) നെ \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) ആയി വിഭജിക്കുന്നു. നിലവിലെ-കോൺഫിഗറേഷൻ രൂപം റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലേക്ക് പുൾ-ബാക്ക് ചെയ്യുമ്പോൾ സ്ട്രെസ്-സ്ട്രെയിൻ സംയുഗ്മ യുഗ്മം 2-ാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\), Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{E}\) എന്നിവയാണ്. അപ്പോൾ ആരംഭ കോൺഫിഗറേഷനിലെ വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

എന്ന് എഴുതാം. ഇവിടെ \(\rho_0\) റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ ദ്രവ്യമാന സാന്ദ്രത ആണ്; ദ്രവ്യമാന സംരക്ഷണം \(\rho_0 = J\rho\) പ്രകാരം ഇത് നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെ വസ്തു-ബലം അവതരണത്തോടു തുല്യമാണ്.

നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനും ആരംഭ കോൺഫിഗറേഷനും തമ്മിലുള്ള തുല്യത

രണ്ട് അവതരണങ്ങളിലുമുള്ള ആന്തരികബലം വിർച്വൽ വർക്ക് രൂപവ്യതിയാന ഗ്രേഡിയന്റ് \(\boldsymbol{F}\), ഘനപരിമാണ അനുപാതം \(J = \det \boldsymbol{F}\) എന്നിവയുള്ള പരിവർത്തനം വഴി ഒരുപോലെയാകുന്നു. അതായത്,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ആണ്. ദ്രവ്യമാന സംരക്ഷണവും ഉപരിതലം ട്രാക്ഷൻ പരിവർത്തനവും വഴി ബാഹ്യബലം പദങ്ങളും തുല്യമാണ്. അതിനാൽ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിലെയും ആരംഭ കോൺഫിഗറേഷനിലെയും വിർച്വൽ വർക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ ഒരേ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വ്യത്യസ്ത കോൺഫിഗറേഷനുകളിലെ അവതരണങ്ങളാണ്. റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന പരിഹാരം Total Lagrange രീതിക്കും നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ (മുൻപ് അഭിസരിച്ച കോൺഫിഗറേഷൻ) ഉപയോഗിക്കുന്ന പരിഹാരം Updated Lagrange രീതിക്കും അനുയോജ്യമാണ്.

ചെറുരൂപവ്യതിയാന പരിധിയിലേക്ക് ചുരുക്കൽ

ചെറുരൂപവ്യതിയാന അനുമാനം \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\), \(J \approx 1\) പ്രകാരം നിലവിലെ/റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനുകളിലെ വ്യത്യാസം ഇല്ലാതാകുന്നു; 2-ാം PK സ്ട്രെസ് Cauchy സ്ട്രെസിനോട് ഒത്തുചേരുന്നു (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), Green-Lagrange സ്ട്രെയിനും Almansi സ്ട്രെയിന്റെ രേഖീയ ഭാഗവും ചെറിയ സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

അപ്പോൾ വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം Cauchy സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{\sigma}\), ചെറിയ സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച ദുർബല രൂപം

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു. ചെറുരൂപവ്യതിയാന രേഖീയ-ഇലാസ്റ്റിക് സ്റ്റാറ്റിക് വിശകലനത്തിൽ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷന് നേരിട്ട് ഉപയോഗിക്കുന്ന ദുർബല രൂപം ഇതാണ് (രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് സ്റ്റാറ്റിക് വിശകലനം (ആമുഖം/അപ്പെൻഡിക്സ്) ഈ രൂപത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് എലമെന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് \(\boldsymbol{K}^e\) നിർമാണവും ആഗോള സമവാക്യം \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) അസംബ്ലിയും വരെ കാണിക്കുന്നു).

രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് കോൺസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടീവ് നിയമം \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) പകരംവെച്ച ചെയ്ത് Voigt നോട്ടേഷൻ-ൽ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) എന്നു എഴുതുമ്പോൾ ദുർബല രൂപം

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

എന്ന രൂപമാകുന്നു.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ