Skip to content

ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനത്തിന്റെ ഘടന

ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനത്തിന്റെ ആവശ്യകത

മുകളിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ, സൂക്ഷ്മ രൂപവ്യതിയാന പ്രശ്നങ്ങളുടെ വിശകലനത്തിൽ സമതുല്യതാ സമവാക്യം പോലുള്ള അടിസ്ഥാന സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, അതിനെ പരിമിത ഘടകങ്ങളാൽ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസ് ചെയ്ത് പരിമിത ഘടക വിശകലനം നടത്താം. ഘടനയുടെ വലിയ രൂപവ്യതിയാനം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന പരിമിത രൂപവ്യതിയാന പ്രശ്നങ്ങളിലും അടിസ്ഥാനമായി വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം തന്നെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

എന്നിരുന്നാലും, പരിമിത രൂപവ്യതിയാന പ്രശ്നത്തിൽ മെറ്റീരിയലിന് രേഖീയത അനുമാനിച്ചാലും വിർച്വൽ വർക്ക് സമവാക്യം സ്ഥാനചലനത്തോടനുബന്ധിച്ച് രേഖീയമല്ലാത്തതാകും. രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ സാധാരണയായി ആവർത്തന രീതിയിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഈ ആവർത്തന കണക്കുകൂട്ടൽ ചെറിയ ലോഡ് ഇൻക്രിമെന്റുകളായി ഖണ്ഡികകളിൽ നടത്തുകയും അവ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് അന്തിമ രൂപവ്യതിയാന അവസ്ഥയിലെത്തുകയും ചെയ്യുന്ന ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. സൂക്ഷ്മ രൂപവ്യതിയാനം അനുമാനിക്കുമ്പോൾ, സ്ട്രെയിനും സ്ട്രെസും നിർവചിക്കുന്ന വിന്യാസം രൂപവ്യതിയാനത്തിന് മുമ്പും ശേഷവും പ്രത്യേകം വേർതിരിച്ചിരുന്നില്ല. അതാണ്, സൂക്ഷ്മ രൂപവ്യതിയാനം അനുമാനിച്ചാൽ അടിസ്ഥാന സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുന്ന വിന്യാസം രൂപവ്യതിയാനത്തിന് മുമ്പോ ശേഷമോ എന്നത് പ്രശ്നമല്ലായിരുന്നു.

പരിമിത രൂപവ്യതിയാന പ്രശ്നത്തിൽ ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനം നടത്തുമ്പോൾ, റഫറൻസ് വിന്യാസമായി ആരംഭ വിന്യാസമോ ഇൻക്രിമെന്റ് തുടങ്ങുന്ന സമയത്തെ വിന്യാസമോ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതനുസരിച്ച് ഫോർമുലേഷൻ വ്യത്യസ്തമാകും. ആദ്യത്തേതിനെ ടോട്ടൽ ലാഗ്രാൻജ് രീതി എന്നും രണ്ടാമത്തേതിനെ അപ്‌ഡേറ്റഡ് ലാഗ്രാൻജ് രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു. വിശദാംശങ്ങൾക്ക് അധ്യായാവസാന റഫറൻസുകൾ കാണുക.

ആരംഭ സമവാക്യം: സമയം \(t'\)-യിലെ വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം

സമയം \(t\) വരെയുള്ള അവസ്ഥ അറിയപ്പെടുന്നതും സമയം \(t' = t + \Delta t\)-യിലെ അവസ്ഥ അറിയാത്തതുമായ ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനം പരിഗണിക്കുന്നു (ചിത്രം 2.2.1 കാണുക). സമയം \(t'\)-യിലെ സമതുല്യതാ സമവാക്യം, അതിർത്തി വ്യവസ്ഥ, വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം (നിലവിലെ വിന്യാസത്തിലുള്ള അവതരണം; Cauchy സ്ട്രെസ് \(^{t'}\sigma\), Almansi സ്ട്രെയിന്റെ രേഖീയ ഭാഗം \(^{t'} A_{(L)}\) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള അവതരണം) വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതുപോലെയാണ്.

ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനത്തിന്റെ ആശയം

ചിത്രം 2.2.1 ഇൻക്രിമെന്റൽ വിശകലനത്തിന്റെ ആശയം

എന്നാൽ ഈ ആരംഭ സമവാക്യം സമയം \(t'\)-യിലെ (അറിയാത്ത) വിന്യാസത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്. അതിനാൽ യഥാർത്ഥ പരിഹാരത്തിൽ സമയം \(0\)-യിലെ ആരംഭ വിന്യാസം \(V\) അല്ലെങ്കിൽ സമയം \(t\)-യിലെ നിലവിലെ വിന്യാസം \(^{t'} v\) റഫറൻസ് വിന്യാസമായി വീണ്ടും തിരഞ്ഞെടുത്ത്, ഇൻക്രിമെന്റൽ രൂപത്തിലേക്ക് പുനഃരചിച്ചാണ് പരിഹരിക്കുന്നത്:

  • ടോട്ടൽ ലാഗ്രാൻജ് രീതി — ആരംഭ വിന്യാസം \(V\) റഫറൻസായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ടാം PK സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\), ഗ്രീൻ-ലാഗ്രാൻജ് സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{E}\) എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
  • അപ്‌ഡേറ്റഡ് ലാഗ്രാൻജ് രീതി — ഇൻക്രിമെന്റ് ആരംഭിക്കുന്ന സമയത്തെ നിലവിലെ വിന്യാസം \(^{t}v\) റഫറൻസായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. Cauchy സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{\sigma}\), Almansi സ്ട്രെയിന്റെ രേഖീയ ഭാഗം \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഇരുവരുടെയും സ്ഥലം ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ (B മാട്രിക്സ്, ആന്തരിക ബല വെക്റ്റർ) ആന്തരിക ബലത്തിന്റെ വിർച്വൽ വർക്ക് ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ, രേഖീയവൽക്കരണവും ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് ഘടനയും ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ് എന്നിവയിൽ കാണുക.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ