ടെൻസർ നോട്ടേഷനും ഗണിത അടിസ്ഥാനവും¶

ഈ അധ്യായത്തിൽ FrontISTR സിദ്ധാന്ത മാനുവലിന്റെ തുടർന്നുള്ള അധ്യായങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ടെൻസർ നോട്ടേഷൻ, ഇൻഡക്സ് നോട്ടേഷൻ, Voigt നോട്ടേഷൻ എന്നിവയുടെ നിയമങ്ങൾ ഏകീകരിക്കുന്നു. ഇവിടെ ഭൗതിക അളവുകളുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായ ശുദ്ധ നോട്ടേഷൻ നിയമങ്ങൾ മാത്രം പറയുന്നു. കണ്ടിന്യുവം ചലനത്തോടൊപ്പം വരുന്ന കോൺഫിഗറേഷനെ (റഫറൻസ്/നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ) ആശ്രയിച്ചുള്ള ചിഹ്നനിയമങ്ങൾ — വലിയ/ചെറിയ അക്ഷരങ്ങളുടെ ഉപയോഗം, മെറ്റീരിയൽ ഡെറിവേറ്റീവും സ്പേഷ്യൽ ഡെറിവേറ്റീവും — കോൺഫിഗറേഷൻ ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്ന ചലനം, രൂപവ്യതിയാനം, സ്ട്രെയിൻ-ൽ കാണുക.

ടെൻസർ നോട്ടേഷൻ¶

ബോൾഡ് അക്ഷരങ്ങളിലുള്ള വെക്റ്റർ, ടെൻസർ നോട്ടേഷൻ¶

അക്ഷരരൂപത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനനിയമമായി, സ്കെയ്ലർ അളവുകളും വെക്റ്റർ/ടെൻസറുകളുടെ ഘടകങ്ങളും സാധാരണ അക്ഷരത്തിൽ (\(\rho\), \(x_i\) മുതലായവ) എഴുതുന്നു. വെക്റ്റർ/ടെൻസർ അളവ് തന്നെ ബോൾഡായി (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) മുതലായവ) എഴുതുന്നു.

Einstein സമേഷൻ നിയമം¶

പ്രത്യേകമായി പറഞ്ഞിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഒരേ പദത്തിൽ ഒരേ ഇൻഡക്സ് രണ്ടുതവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടാൽ ആ ഇൻഡക്സ് അനുസരിച്ച് സമം എടുക്കുന്ന Einstein സമേഷൻ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ആണ്. ടെൻസറുകൾ \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) എന്നിവയുടെ ഗുണിതം \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ \(i,j\) ഘടകം

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

ആകുന്നു. ഇൻഡക്സ് നിയമത്തിൽ, പ്രത്യേകം പറഞ്ഞിട്ടില്ലാതെ \(i, j, k, l, \ldots\) ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ അവ സ്വാതന്ത്ര്യ അംശങ്ങളെ (3-ഡൈമെൻഷനിൽ \(1, 2, 3\)) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഗ്രീക്ക് ചെറിയ അക്ഷരങ്ങളായ \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ഇൻഡക്സായി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ അവ എലമെന്റ് രൂപപ്പെടുത്തുന്ന നോഡുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഇൻറർ പ്രോഡക്റ്റ്, ട്രാൻസ്പോസ്, ടെൻസർ പ്രോഡക്റ്റ്¶

ടെൻസർ \(\boldsymbol{A}\)-യുടെ ട്രാൻസ്പോസ് \(\boldsymbol{A}^T\) എന്ന് എഴുതുന്നു. രണ്ടാം-ഓർഡർ ടെൻസറുകൾ \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) എന്നിവയുടെ ഇൻറർ പ്രോഡക്റ്റ് (ഡബിൾ കോൺട്രാക്ഷൻ)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

എന്ന് എഴുതുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) എന്നിവയുടെ ഇൻറർ പ്രോഡക്റ്റ് \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), ടെൻസർ പ്രോഡക്റ്റ് \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) ആണ്.

Voigt നോട്ടേഷൻ¶

സ്ട്രെസും സ്ട്രെയിനും സ്വാതന്ത്ര്യ അംശങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച സമമിത രണ്ടാം-ഓർഡർ ടെൻസറുകളാണ്; അവയ്ക്കിടയിലെ രേഖീയബന്ധത്തിന്റെ ഗുണകം നാലാം-ഓർഡർ ടെൻസറാണ്. ഇത് നേരിട്ട് പ്രോഗ്രാമിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് കണക്കുകൂട്ടൽ ചെലവും കോഡിംഗും — ബഹുഡൈമെൻഷണൽ അറേകളും ആഴത്തിലുള്ള നെസ്റ്റഡ് ലൂപ്പുകളും — കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ അനനുകൂലമാണ്. അതിനാൽ സാധാരണ ഫിനൈറ്റ് എലമെന്റ് പ്രോഗ്രാമുകളിൽ സമമിതി ഉപയോഗിച്ച് സ്ട്രെസും സ്ട്രെയിനും കോളം വെക്റ്ററുകളായും, നാലാം-ഓർഡർ ഇലാസ്റ്റിക് ടെൻസർ 2-ഡൈമെൻഷണൽ മാട്രിക്സായും ചുരുക്കുന്നു. ഇതിനെ Voigt നോട്ടേഷൻ എന്നു വിളിക്കുന്നു.

ഇനി ടെൻസർ അളവ് \(\boldsymbol{A}\)-യുടെ മാട്രിക്സ്/വെക്റ്റർ പ്രതിനിധാനം \(\hat{A}\) എന്ന് എഴുതി മൂല ടെൻസറിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുന്നു.

സ്ട്രെസ്, സ്ട്രെയിൻ വെക്റ്റർ നോട്ടേഷൻ¶

സമമിത സ്ട്രെസ് ടെൻസർ \(\boldsymbol{\sigma}\), സ്ട്രെയിൻ ടെൻസർ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) എന്നിവയ്ക്ക് 2-ഡൈമെൻഷണൽ സാഹചര്യത്തിൽ

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

3-ഡൈമെൻഷണൽ സാഹചര്യത്തിൽ

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

എന്നിങ്ങനെ കോളം വെക്റ്ററുകളായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. വേരിയേഷൻ, ഡെറിവേറ്റീവ് തുടങ്ങിയ വ്യുത്പന്ന അളവുകളിലും ഇതേ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു. സ്ട്രെയിൻ ഭാഗത്തെ ഷിയർ ഘടകങ്ങൾക്ക് ഗുണകം 2 ഉണ്ടെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക; സ്ട്രെസ് ഭാഗത്ത് അത് ഇല്ല. ഈ അസമത്വം മൂലം ടെൻസർ ഇൻറർ പ്രോഡക്റ്റ് വെക്റ്റർ ഇൻറർ പ്രോഡക്റ്റായി

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

എന്ന ലളിതരൂപത്തിൽ എഴുതാം. ഇംപ്ലിമെന്റേഷനിൽ ഷിയർ സ്ട്രെയിൻ ഘടകത്തിലെ 2 എന്ന ഗുണകം തെറ്റിക്കാൻ എളുപ്പമായതിനാൽ “സ്ട്രെസിൽ ഇല്ല / സ്ട്രെയിനിൽ ഉണ്ട്” എന്ന നിയമം എപ്പോഴും ശ്രദ്ധിക്കണം. റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷനിലെ അളവുകളായ രണ്ടാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\), Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{E}\) എന്നിവയ്ക്കും ഇതേ Voigt നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു.

നാലാം-ഓർഡർ ടെൻസറിന്റെ മാട്രിക്സ് നോട്ടേഷൻ¶

സ്ട്രെസും സ്ട്രെയിനും തമ്മിലുള്ള രേഖീയബന്ധം \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (ഘടകരൂപത്തിൽ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) എന്നതിൽ \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-യുടെ സമമിതി ഉപയോഗിച്ചാൽ

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

എന്ന് പുനരാഖ്യാനം ചെയ്യാം. 3-ഡൈമെൻഷണൽ സാഹചര്യത്തിൽ \(\tilde{C}\) നെ 6×6 മെറ്റീരിയൽ മാട്രിക്സ് \(\hat{\tilde{C}}\) ആയി നിരത്തിയാൽ മൂല ടെൻസർ ബന്ധം

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

എന്ന് എഴുതാം. ഇനി ഈ മാനുവലിൽ പ്രത്യേകം പറഞ്ഞിട്ടില്ലെങ്കിൽ മെറ്റീരിയൽ മാട്രിക്സ് \(D\) (അല്ലെങ്കിൽ \(\hat{C}\)) എന്ന് രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ഐസോട്രോപിക് രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റിയിലെ കൃത്യഘടകങ്ങൾക്ക് രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി കാണുക.

ഡിഫറൻഷ്യൽ ഓപ്പറേറ്റർ നിയമങ്ങൾ¶

സമമിത ഗ്രേഡിയന്റ് ഓപ്പറേറ്റർ¶

വെക്റ്റർ ഫീൽഡ് \(\boldsymbol{u}\)-നുള്ള സമമിത ഗ്രേഡിയന്റ് ഓപ്പറേറ്റർ \(\nabla_S\) നെ

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു. ഘടകരൂപത്തിൽ \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) ആണ്. ചെറിയ രൂപവ്യതിയാനത്തിലെ സ്ട്രെയിൻ \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ഈ ഓപ്പറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായി രേഖപ്പെടുത്താം. ഫിനൈറ്റ് രൂപവ്യതിയാനത്തിൽ ഗ്രേഡിയന്റ് എടുക്കുന്ന കോൺഫിഗറേഷന്റെ (റഫറൻസ്/നിലവിലെ) തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ചലനം, രൂപവ്യതിയാനം, സ്ട്രെയിൻ-ൽ വിവരിക്കുന്നു.

മെറ്റീരിയൽ സമയ ഡെറിവേറ്റീവ്¶

ഒരു അളവ് \(A\)-യുടെ മെറ്റീരിയൽ സമയ ഡെറിവേറ്റീവ് — അതേ മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിനെ പിന്തുടർന്ന് എടുക്കുന്ന സമയ ഡെറിവേറ്റീവ് — മുകളിൽ ഡോട്ട് നൽകി \(\dot{A}\) എന്ന് എഴുതുന്നു:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

വേഗവും ത്വരണവും ഈ നിയമം പിന്തുടരുന്നു.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ¶

ചലനം, രൂപവ്യതിയാനം, സ്ട്രെയിൻ — റഫറൻസ്/നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ ആശയങ്ങളും കോൺഫിഗറേഷനെ ആശ്രയിക്കുന്ന നോട്ടേഷൻ നിയമങ്ങളും (വലിയ/ചെറിയ അക്ഷരം, മെറ്റീരിയൽ/സ്പേഷ്യൽ ഡെറിവേറ്റീവ്)
സ്ട്രെസും സംരക്ഷണ നിയമങ്ങളും — ഈ നോട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഗവണിംഗ് സമവാക്യങ്ങളുടെ വ്യുത്പാദനം
വിർച്വൽ വർക്ക് സിദ്ധാന്തം — ദുർബല രൂപവും Voigt നോട്ടേഷനും ഉപയോഗിക്കുന്ന വിധം
രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി — മെറ്റീരിയൽ മാട്രിക്സ് \(D\)-യുടെ കൃത്യരൂപം
ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകളും ഫിനൈറ്റ് എലമെന്റ് അനുമാനവും — Voigt നോട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള എലമെന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് കണക്കുകൂട്ടൽ