Skip to content

Newton-Raphson രീതി

രേഖീയവൽക്കരണവും ആവർത്തനബന്ധവും

ബാഹ്യബലത്തിന്റെ വിർച്വൽ വർക്കും സമഗ്ര സമവാക്യത്തിന്റെ അസംബ്ലിയും വഴി ലഭിക്കുന്ന, സമയം \(t_{n+1}\)-ലെ നോഡ് സ്ഥാനചലനം \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) സംബന്ധിച്ച അരേഖീയ സമവാക്യം Newton-Raphson രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. സമയം \(t_n\) വരെയുള്ള നോഡ് സ്ഥാനചലനം \(\boldsymbol{u}_n\) അറിയുന്നതായി കരുതി, സ്ഥാനചലന വർധന \(\Delta\boldsymbol{u}\) അജ്ഞാത ചരം ആയി എടുത്ത്

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

നിർണ്ണയിക്കുന്നു. തുടർന്ന് ബാഹ്യബല വെക്റ്ററിന്റെ നോഡ് സ്ഥാനചലന ആശ്രിതത്വം അവഗണിച്ച്, \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) എന്നു കരുതി

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

പരിഹരിക്കുന്നു.

നിലവിലെ പരിഹാരം \(\Delta\boldsymbol{u}\)-ൽ ഉള്ള ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ്

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

ഉപയോഗിച്ച് അരേഖീയ സമവാക്യം രേഖീയവൽക്കരിക്കുമ്പോൾ

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ലഭിക്കുന്നു. \(i\)-ആം ആവർത്തനത്തിലെ തിരുത്തൽ \(d\boldsymbol{u}_i\) എന്നും ആവർത്തനം ആരംഭിക്കുമ്പോഴുള്ള അവശിഷ്ട വെക്റ്റർ

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

എന്നും എഴുതിയാൽ, ആവർത്തന സമവാക്യം

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

എന്ന രൂപത്തിലാകും. അവശിഷ്ടം \(\boldsymbol{R}_i\) സമതുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള ബല അസന്തുലിതത്വത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന അളവാണ്.

ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സിന്റെ നിർമ്മാണം

ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\), ആന്തരികബലത്തിന്റെ വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ വഴി ലഭിച്ച എലമെന്റ് ആന്തരികബല വെക്റ്ററെ നോഡ് സ്ഥാനചലനത്തോട് ഭാഗികമായി വ്യുത്പന്നമാക്കി, ഓരോ എലമെന്റിന്റെയും ഇൻറഗ്രാൻഡുകൾ എലമെന്റ് ഡൊമെയ്‌നിൽ സമാകലനം ചെയ്ത് അസംബിൾ ചെയ്താണ് നിർമ്മിക്കുന്നത്. എലമെന്റ് തല ഇൻറഗ്രാൻഡിനെ \(\boldsymbol{K}^e_X\) (റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ രേഖപ്പെടുത്തൽ, TL രീതി) അല്ലെങ്കിൽ \(\boldsymbol{K}^e_x\) (നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ രേഖപ്പെടുത്തൽ, UL രീതി) എന്ന് എഴുതിയാൽ, എലമെന്റ് ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ്

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

ആയി ലഭിക്കുന്നു. TL/UL ഇൻറഗ്രാൻഡുകളുടെ അന്തിമ രൂപങ്ങൾ താഴെ കൊടുക്കുന്നു. ഇരു സാഹചര്യങ്ങളിലും ഇത് മെറ്റീരിയൽ സ്റ്റിഫ്നസ് പദം (ആരംഭ സ്ഥാനചലന പദം) എന്നും ജ്യാമിതീയ സ്റ്റിഫ്നസ് പദം (ആരംഭ സ്ട്രെസ് പദം) എന്നും ഉള്ള രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെ തുകയായി വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു.

Total Lagrange രീതി

Total Lagrange രീതിയിൽ, 2-ാം Piola-Kirchhoff സ്ട്രെസ് നിരക്ക് \(\dot{\boldsymbol{S}}\) നും Green-Lagrange സ്ട്രെയിൻ നിരക്ക് \(\dot{\boldsymbol{E}}\) നും ഇടയിൽ \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) എന്ന രേഖീയബന്ധം അനുമാനിക്കുന്നു. ഇത് രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് വസ്തുക്കൾക്കും (St.Venant-Kirchhoff വസ്തുക്കൾ) ഹൈപ്പർഇലാസ്റ്റിക് വസ്തുക്കൾക്കും ഉള്ള ഘടനാസമവാക്യങ്ങളോട് യോജിക്കുന്നു; FrontISTR-ൽ ഈ മെറ്റീരിയലുകൾക്കായി Total Lagrange രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അപ്പോൾ എലമെന്റ് ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസിന്റെ ഇൻറഗ്രാൻഡ് ടെൻസർ രൂപത്തിൽ

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

എന്ന് എഴുതാം. വലതുവശത്തെ 1-ാം പദം മെറ്റീരിയൽ സ്റ്റിഫ്നസ് പദം (ആരംഭ സ്ഥാനചലന പദം), 2-ാം പദം ജ്യാമിതീയ സ്റ്റിഫ്നസ് പദം (ആരംഭ സ്ട്രെസ് പദം) ആണ്.

FrontISTR നടപ്പാക്കലിൽ, ഈ ഇൻറഗ്രാൻഡ് Voigt രേഖപ്പെടുത്തൽ ഉപയോഗിച്ചുള്ള മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

കണക്കാക്കുന്നു. ഓരോ മാട്രിക്സും താഴെപ്പറയുന്നതാണ്. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) എന്നിവ ആന്തരികബലത്തിന്റെ വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ ൽ അവതരിപ്പിച്ച B മാട്രിക്സുകളാണ്; \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) എന്നത് ഘടനാനിയമ ടെൻസർ \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\)-ന്റെ Voigt രേഖപ്പെടുത്തലിലുള്ള \(6\times 6\) മെറ്റീരിയൽ സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സാണ് (ടെൻസർ രേഖപ്പെടുത്തലും ഗണിത അടിസ്ഥാനങ്ങളും). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) എന്നിവ ജ്യാമിതീയ സ്റ്റിഫ്നസ് പദത്തെ മാട്രിക്സ് ഗുണിതമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന പുനഃക്രമീകരണ മാട്രിക്സുകളാണ്. ആദ്യം, \(3\times 3\) 2-ാം ക്രമ ടെൻസർ \(\boldsymbol{A}\)-നെ 9 ഘടക വെക്റ്ററായി പുനഃക്രമീകരിക്കുന്ന \([\,\cdot\,]\) എന്ന രേഖപ്പെടുത്തൽ

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

എന്ന് നിർവചിക്കാം. അപ്പോൾ \(\boldsymbol{F}_9\), രൂപവ്യതിയാന ഗ്രേഡിയന്റിന്റെ വ്യതിയാനം \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന \(9\times d n_e\) മാട്രിക്സാണ്. എലമെന്റ് നോഡ് \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)-നോട് അനുബന്ധിച്ച \(9\times d\) ബ്ലോക്ക്

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ എന്നത് } 3\times 3 \text{ ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ആണ്}) \]

എലമെന്റ് നോഡ് ക്രമത്തിൽ ഈ ബ്ലോക്കുകൾ തിരശ്ചീനമായി നിരത്തി \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) ലഭിക്കുന്നു. ഇതിനൊപ്പം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ സ്റ്റിഫ്നസ് പദം \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) ആയി രേഖപ്പെടുത്താൻ കഴിയുന്നവിധം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന \(9\times 9\) മാട്രിക്സാണ് \(\boldsymbol{S}_9\):

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

ഇതാണ് ലഭിക്കുന്ന മാട്രിക്സ്.

Updated Lagrange രീതി

Updated Lagrange രീതിയിൽ, ആപേക്ഷിക Kirchhoff സ്ട്രെസ് ടെൻസറിന്റെ Jaumann നിരക്ക് \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) നും രൂപവ്യതിയാന നിരക്ക് ടെൻസർ \(\boldsymbol{D}\) നും ഇടയിൽ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) എന്ന രേഖീയബന്ധം അനുമാനിക്കുന്നു. ഇത് രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക്, ഇലാസ്റ്റോപ്ലാസ്റ്റിക്, ക്രീപ് മെറ്റീരിയലുകൾക്ക് പൊതുവായ ഹൈപ്പോഇലാസ്റ്റിക് ഘടനാനിയമത്തിന്റെ രൂപമാണ്; FrontISTR-ൽ ഈ മെറ്റീരിയലുകൾക്കായി Updated Lagrange രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അപ്പോൾ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയ എലമെന്റ് ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസിന്റെ ഇൻറഗ്രാൻഡ് ടെൻസർ രൂപത്തിൽ

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

എന്ന് എഴുതാം (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell നിരക്കാണ്, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi സ്ട്രെയിന്റെ രേഖീയ ഭാഗമാണ്, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ സ്ഥാനചലന ഗ്രേഡിയന്റാണ്, \(\boldsymbol{L}\) വേഗ ഗ്രേഡിയന്റ് ടെൻസറാണ്). വലതുവശത്തെ 1-ാം പദം മെറ്റീരിയൽ സ്റ്റിഫ്നസ് പദം, 2-ാം പദം ജ്യാമിതീയ സ്റ്റിഫ്നസ് പദം ആണ്.

FrontISTR നടപ്പാക്കലിൽ, ഈ ഇൻറഗ്രാൻഡ് Voigt രേഖപ്പെടുത്തൽ ഉപയോഗിച്ചുള്ള മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

കണക്കാക്കുന്നു. \(\boldsymbol{b}\) നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷനിൽ നിർമ്മിച്ച B മാട്രിക്സാണ് (ആന്തരികബലത്തിന്റെ വിർച്വൽ വർക്കിന്റെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) എന്നിവ, TL രീതിയിൽ നിർവചിച്ച \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\)-ൽ 2-ാം PK സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{S}\)-നെ Cauchy സ്ട്രെസ് \(\boldsymbol{\sigma}\) കൊണ്ടും, റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ ഗ്രേഡിയന്റ് \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-നെ നിലവിലെ കോൺഫിഗറേഷൻ ഗ്രേഡിയന്റ് \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) കൊണ്ടും മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച രൂപങ്ങളാണ്.

\(\boldsymbol{G}\) എന്നത്, ഹൈപ്പോഇലാസ്റ്റിക് ഘടനാനിയമം \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\)-നെ Truesdell നിരക്ക് അടിസ്ഥാനമാക്കിയ ഘടനാനിയമമായി ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് ചട്ടക്കൂടിനോട് പൊരുത്തപ്പെടുത്താൻ ആവശ്യമായ Cauchy സ്ട്രെസ് ആശ്രിത തിരുത്തൽ മാട്രിക്സാണ്. 4-ാം ക്രമ ടെൻസർ ഘടകങ്ങൾ \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\)-നെ \(6\times 6\) Voigt രൂപത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചാൽ

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

ലഭിക്കുന്നു.

സമഗ്ര സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സിന്റെ അസംബ്ലി

സമഗ്ര ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് \(\boldsymbol{K}\) ലഭിക്കാൻ, എലമെന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് \(\boldsymbol{K}^e\)-നെ ഓരോ നോഡിനുമുള്ള \(d\times d\) ബ്ലോക്കുകളായ \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) ആയി വിഭജിച്ച്, എലമെന്റ്-നോഡ് ഭൗതിക അളവുകളുടെ അസംബ്ലി ൽ അവതരിപ്പിച്ച 2-ാം ക്രമ ടെൻസറിനുള്ള അസംബ്ലി സെറ്റ് \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) ഉപയോഗിച്ച്

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

എന്ന മൂല്യങ്ങളെ \(i_g\)-ആം വരിയിലും \(i_h\)-ആം നിരയിലും ക്രമീകരിച്ച മാട്രിക്സായി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. നടപ്പാക്കലിൽ \(\mathcal{E}^2\) സെറ്റ് വ്യക്തമായി നിർമ്മിക്കാതെ, എലമെന്റ് ലൂപ്പിനുള്ളിൽ അനുബന്ധ ബ്ലോക്കിലേക്ക് നേരിട്ട് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു. ഇതിന്റെ ക്രമം ഒരു നോഡിലേക്കുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യ അംശങ്ങളുടെ എണ്ണം \(\times\) ആകെ നോഡ് എണ്ണം \(n_g\) ആയ ചതുര മാട്രിക്സാണ്; എന്നാൽ ഒരേ എലമെന്റിലൂടെ ബന്ധിപ്പിക്കാത്ത നോഡുകൾക്കിടയിലെ ഘടകങ്ങൾ \(0\) ആയതിനാൽ ഇത് സ്പാർസ് മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ സൂക്ഷിക്കുന്നു.

TL രീതിയുടെയും UL രീതിയുടെയും എലമെന്റ് സ്റ്റിഫ്നസുകൾ റഫറൻസ് കോൺഫിഗറേഷൻ മാറ്റം (നോഡ് നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളും B മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കുന്ന അടിസ്ഥാനവും) കൂടാതെ \(\boldsymbol{G}\) മാട്രിക്സിന്റെ സാന്നിധ്യം/അഭാവം ഒഴികെ ഒരേ രൂപമുള്ളതിനാൽ, FrontISTR-ൽ ഇരുവരും പൊതുവായ സബ്‌റൂട്ടീനിൽ നടപ്പാക്കിയിരിക്കുന്നു.

ആവർത്തന അൽഗോരിതം

മുകളിൽ പറഞ്ഞവ സംഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ, ആവർത്തനം ആരംഭിക്കുമ്പോൾ \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ആയി എടുത്ത് ആരംഭ അവശിഷ്ടം \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) കണക്കാക്കിയ ശേഷം, \(i\)-ആം ആവർത്തനത്തിൽ താഴെപ്പറയുന്ന നടപടികൾ നടത്തുന്നു.

  1. നിലവിലെ സ്ഥാനചലനം \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\)-ൽ ഉള്ള ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സിന്റെ നിർമ്മാണം എന്ന നടപടിക്രമം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.
  2. ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ പ്രതിഫലിപ്പിക്കാൻ, സ്ഥാനചലന നിയന്ത്രണം ഏർപ്പെടുത്തിയ സ്വാതന്ത്ര്യ അംശങ്ങൾക്കായി ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സും അവശിഷ്ട വെക്റ്ററും രൂപാന്തരപ്പെടുത്തി \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) നേടുന്നു (ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളുടെ കൈകാര്യം).
  3. രേഖീയ സമവാക്യം \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) പരിഹരിച്ച് തിരുത്തൽ \(d\boldsymbol{u}_i\) കണ്ടെത്തുന്നു. ആവർത്തന കണക്കിൽ സാധാരണയായി ഏറ്റവും കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടൽ ചെലവ് വരുന്ന നടപടിയാണിത്.
  4. സ്ഥാനചലന വർധന \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) ആയി പുതുക്കി, അതനുസരിച്ച് ആന്തരികബല വെക്റ്റർ \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ഉം അവശിഷ്ടം \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ഉം കണക്കാക്കുന്നു.
  5. അഭിസരണ പരിശോധന നടത്തുന്നു; മാനദണ്ഡം നിറവേറ്റിയാൽ ആവർത്തനം അവസാനിപ്പിക്കുന്നു. അവശിഷ്ടം \(\boldsymbol{R}_i\)-യിൽ ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥ ഏർപ്പെടുത്തിയ സ്വാതന്ത്ര്യ അംശങ്ങളിൽ നിയന്ത്രണ പ്രതികരണബലത്തിന് തുല്യമായ ഘടകങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിനാൽ, അവ ഒഴിവാക്കിയ \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് പരിശോധനാ സൂചിക നിർമ്മിക്കുന്നു. നിർദ്ദിഷ്ട പരിശോധനാ സൂചികകളും പരിധിമൂല്യങ്ങളും അഭിസരണ പരിശോധന ൽ വിവരിക്കുന്നു. അഭിസരണം ലഭിക്കാതെ ആവർത്തന പരിധിയിലെത്തിയാൽ ആവർത്തനം പരാജയപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കുന്നു.

ആവർത്തനം അഭിസരിക്കുന്ന സമയത്തെ \(\Delta\boldsymbol{u}\), \(\boldsymbol{u}_n\)-ലേക്ക് ചേർത്ത് സമയം \(t_{n+1}\)-ലെ സമാഹൃത സ്ഥാനചലനം \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ആയി എടുത്ത് അടുത്ത സമയ സ്റ്റെപ്പിലേക്ക് കടക്കുന്നു.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ