ചലന വിശകലന രീതികൾ¶

ഈ വിഭാഗത്തിൽ നേരിട്ടുള്ള സമയ സമാകലന രീതി പ്രയോഗിച്ച ചലന പ്രശ്ന വിശകലന രീതികൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. ഇംപ്ലിസിറ്റ് രീതിയുടെയും എക്സ്പ്ലിസിറ്റ് രീതിയുടെയും സമവാക്യരൂപീകരണം താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

ചലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷൻ (പൊതുവായ ചട്ടക്കൂട്)¶

TBD (അടുത്ത ഘട്ടത്തിൽ പൂർണ്ണ വിവരണം തയ്യാറാക്കും).

ഇംപ്ലിസിറ്റ് രീതി (Newmark-β രീതി)¶

ചലന പ്രശ്നങ്ങൾക്ക്, താഴെ കാണുന്ന ചലന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ നേരിട്ടുള്ള സമയ സമാകലന രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

ഇവിടെ, \(M\) മാസ് മാട്രിക്സ്, \(C\) ഡാമ്പിംഗ് മാട്രിക്സ്, \(Q\) ആന്തരികബല വെക്റ്റർ, \(F\) ബാഹ്യബല വെക്റ്റർ എന്നിവയാണ്. അരേഖീയ വിശകലനത്തിലും മാസ് മാട്രിക്സ് രൂപവ്യതിയാനത്തിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായി സ്ഥിരമാണെന്ന് കരുതുന്നു.

സമയ വർധന \(\Delta t\)-ക്കുള്ളിലെ സ്ഥാനചലനം, വേഗം, ത്വരണം എന്നിവയുടെ മാറ്റം Newmark-\(\beta\) രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.2}\), സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.3}\) എന്നിവയിൽ കാണുന്നതുപോലെ അനുമാനിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

ഇവിടെ, \(\gamma\), \(\beta\) എന്നിവ Newmark-\(\beta\) രീതിയുടെ പാരാമീറ്ററുകളാണ്.

അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, \(\gamma\), \(\beta\) എന്നിവ താഴെപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങളായാൽ യഥാക്രമം രേഖീയ ത്വരണ രീതി അല്ലെങ്കിൽ ട്രാപ്പിസോയ്ഡൽ നിയമം ലഭിക്കുന്നു.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (രേഖീയ ത്വരണ രീതി)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ട്രാപ്പിസോയ്ഡൽ നിയമം)

സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.2}\), സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.3}\) എന്നിവ സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.1}\)-ൽ പകരുമ്പോൾ താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

പ്രത്യേകിച്ച്, രേഖീയ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് \(K_L\) രേഖീയ സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സായും \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) ആയും എടുക്കുന്നു. ഇത് മുകളിലെ സമവാക്യത്തിൽ പകരുമ്പോൾ താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

കൂടാതെ, ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥയായി ത്വരണം നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്ന സ്ഥലങ്ങളിൽ, സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.2}\) ഉപയോഗിച്ച് താഴെപ്പറയുന്ന സ്ഥാനചലനം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

അതുപോലെ, വേഗം നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്ന സ്ഥലങ്ങളിൽ, സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.6}\) ഉപയോഗിച്ച് താഴെപ്പറയുന്ന സ്ഥാനചലനം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

ഇവിടെ, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) സമയം \(t+\Delta{t}\)-ലെ നോഡ് സ്ഥാനചലനം, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) സമയം \(t+\Delta{t}\)-ലെ നോഡ് വേഗം, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) സമയം \(t+\Delta{t}\)-ലെ നോഡ് ത്വരണം, \(i\) നോഡിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യ അംശ നമ്പർ, \(s\) നോഡ് നമ്പർ എന്നിവയാണ്. മാസ് പദവും ഡാമ്പിംഗ് പദവും താഴെപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

മാസ് പദത്തിന്റെ കൈകാര്യം¶

മാസ് മാട്രിക്സ് തത്വത്തിൽ ലംപ്ഡ് മാസ് മാട്രിക്സായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

ഡാമ്പിംഗ് പദത്തിന്റെ കൈകാര്യം¶

ഡാമ്പിംഗ് പദം സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.8}\) ൽ കാണിക്കുന്ന Rayleigh ഡാമ്പിംഗായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

ഇവിടെ, \(R_m\), \(R_k\) എന്നിവ Rayleigh ഡാമ്പിംഗിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളാണ്.

!DYNAMIC കാർഡിൽ നിർദ്ദേശിക്കുന്ന \(R_m\), \(R_k\) എന്നിവ മുഴുവൻ മോഡലിലും ഒരേ രീതിയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഓരോ മെറ്റീരിയലിനും വ്യത്യസ്ത \(R_m\), \(R_k\) നൽകണമെങ്കിൽ, അതത് മെറ്റീരിയലിന്റെ !MATERIAL ബ്ലോക്കിനുള്ളിൽ !DAMPING കാർഡ് നിർദ്ദേശിക്കുക. !DAMPING നിർദ്ദേശിച്ച മെറ്റീരിയലിൽപ്പെട്ട എലമെന്റുകൾക്ക്, അവയുടെ മാസ് മാട്രിക്സ് \(M_i\), ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ് \(K_i\) എന്നിവയിൽ നിന്ന് \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) എന്ന എലമെന്റ് ഡാമ്പിംഗ് മാട്രിക്സ് കണക്കാക്കി സമഗ്ര ഡാമ്പിംഗ് മാട്രിക്സിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നു. ഈ സൗകര്യം ഇംപ്ലിസിറ്റ് രീതിയിൽ മാത്രം സാധുവാണ്.

എക്സ്പ്ലിസിറ്റ് രീതി (കേന്ദ്ര വ്യത്യാസ രീതി)¶

എക്സ്പ്ലിസിറ്റ് രീതിയിൽ, സമയം t-ലെ താഴെക്കാണുന്ന ചലന സമവാക്യം അടിസ്ഥാനമാക്കുന്നു.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

ഇവിടെ, സമയം \(t + \Delta t\), സമയം \(t - \Delta t\) എന്നിവയിലെ സ്ഥാനചലനങ്ങളെ സമയം \(t\)-ൽ Taylor വിപുലീകരണം ഉപയോഗിച്ച് രേഖപ്പെടുത്തി, \(\Delta t\)-ന്റെ 2-ാം ക്രമ പദം വരെ എടുത്താൽ താഴെപ്പറയുന്ന രൂപം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.3}\), സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.4}\) എന്നിവയുടെ വ്യത്യാസവും ആകെത്തുകയും ഉപയോഗിച്ച് താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.12}\), സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.13}\) എന്നിവ സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.9}\)-ൽ പകരുമ്പോൾ താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

പ്രത്യേകിച്ച്, രേഖീയ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് \(Q(t) = K_L U(t)\) ആയതിനാൽ മുകളിലെ സമവാക്യം താഴെപ്പറയുന്ന രൂപത്തിലാകും.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

ഇവിടെ, മാസ് മാട്രിക്സ് \(M\) ലംപ്ഡ് മാസ് മാട്രിക്സായും ഡാമ്പിംഗ് മാട്രിക്സ് അനുപാത ഡാമ്പിംഗ് മാട്രിക്സ് \(C = R_m M\) ആയും എടുത്താൽ, സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.15}\) പരിഹരിക്കാൻ ഒരേസമയം സമവാക്യസംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്ന നടപടി ആവശ്യമില്ല.

അതുകൊണ്ട്, സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.5.15}\) ഉപയോഗിച്ച് \(U(t+\Delta t)\) താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് കണ്ടെത്താം.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ¶

വിശകലന തരം — ചലന വിശകലനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനസംഗ്രഹവും ഉപയോഗ വ്യത്യാസങ്ങളും
റഫറൻസുകൾ