മോഡ് വിശകലനം¶

സാമാന്യീകൃത സ്വമൂല്യ പ്രശ്നം¶

തുടർച്ചാമാധ്യമത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര കമ്പന വിശകലനം നടത്തുമ്പോൾ, സ്ഥലം വിവിക്തമാക്കി ചിത്രം 2.3.1-ൽ കാണുന്നതുപോലെ കേന്ദ്രീകൃത ദ്രവ്യമാനങ്ങളുള്ള ബഹു-സ്വാതന്ത്ര്യ-അംശ സംവിധാനമായി മോഡൽ ചെയ്യുന്നു. ഡാമ്പിംഗ് ഇല്ലാത്ത സ്വതന്ത്ര കമ്പന പ്രശ്നത്തിൽ നിയന്ത്രണ സമവാക്യം (ചലന സമവാക്യം) താഴെപ്പറയുന്നതാണ്.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

ഇവിടെ $u$ സാമാന്യീകൃത സ്ഥാനചലന വെക്റ്റർ, $M$ മാസ് മാട്രിക്സ്, $K$ സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ് എന്നിവയാണ്. സ്വാഭാവിക കോണീയ ആവൃത്തിയെ $\omega$, ഒരേസമയം രണ്ടും പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ $a$, $b$, കൂടാതെ $x$-നെ ഒരു വെക്റ്റർ എന്നിങ്ങനെ എടുത്ത് താഴെപ്പറയുന്ന ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ രണ്ടാം വ്യുത്പന്നം

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

സമവാക്യങ്ങൾ $\eqref{eq:2.3.2}$, $\eqref{eq:2.3.3}$ എന്നിവ സമവാക്യം $\eqref{eq:2.3.1}$-ൽ പകരുമ്പോൾ

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

ലഭിക്കുന്നു.

അനിസ്സാരമായ കമ്പനത്തിന് $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ സർവസമമായി പൂജ്യമല്ല; അതിനാൽ

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

ലഭിക്കുന്നു. അതിനാൽ $\lambda=\omega^2$ എന്ന് വെച്ചാൽ

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

ലഭിക്കുന്നു.

ഗുണകം $\lambda$-നെ സ്വമൂല്യം എന്നും വെക്റ്റർ $x$-നെ സ്വവെക്റ്റർ എന്നും വിളിക്കുന്നു; സമവാക്യം $\eqref{eq:2.3.5}$ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തെ സാമാന്യീകൃത സ്വമൂല്യ പ്രശ്നം എന്നു വിളിക്കുന്നു.

സ്വമൂല്യം $\lambda=\omega^2$-ൽ നിന്ന് സ്വാഭാവിക കോണീയ ആവൃത്തി $\omega$ ലഭിക്കുന്നു; അതിനനുസരിച്ചുള്ള സ്വവെക്റ്റർ $x$ കമ്പന മോഡിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഡാമ്പിംഗ് ഇല്ലാത്ത സ്വതന്ത്ര കമ്പനത്തിനുള്ള ബഹു-സ്വാതന്ത്ര്യ-അംശ സംവിധാനത്തിന്റെ ഉദാഹരണം

ചിത്രം 2.3.1 ഡാമ്പിംഗ് ഇല്ലാത്ത സ്വതന്ത്ര കമ്പനത്തിനുള്ള ബഹു-സ്വാതന്ത്ര്യ-അംശ സംവിധാനത്തിന്റെ ഉദാഹരണം

മാട്രിക്സുകളുടെ ഗുണങ്ങളും അനുമാനങ്ങളും¶

മുൻവിഭാഗത്തിൽ ലഭിച്ച സാമാന്യീകൃത സ്വമൂല്യ പ്രശ്നം $Kx=\lambda Mx$-ക്കായി, ബന്ധപ്പെട്ട മാട്രിക്സുകൾ സമമിതമാണെന്ന് ഈ മാനുവൽ അനുമാനിക്കുന്നു. സങ്കീർണ്ണ മാട്രിക്സിൽ ഇത് ഹെർമീഷ്യൻ മാട്രിക്സിനും യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിൽ സമമിത മാട്രിക്സിനും തുല്യമാണ്.

മാട്രിക്സ് $K$-യുടെ $ij$ ഘടകത്തെ $k_{ij}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഹെർമീഷ്യൻ ഗുണം താഴെപ്പറയുന്നതുപോലെ പ്രകടിപ്പിക്കാം.

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

ഇവിടെ $\bar{k}_{ji}$, $k_{ji}$-യുടെ സങ്കീർണ്ണ സംയുഗ്മമാണ്. യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിൽ ഈ ബന്ധം $k_{ij}=k_{ji}$ ആയി മാറുന്നു.

കൂടാതെ, ഓരോ പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്റ്റർ $x$-ക്കും താഴെപ്പറയുന്ന ബന്ധം നിലനിൽക്കുമ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമമിത മാട്രിക്സ് $H$ ധനനിശ്ചിതമാണെന്ന് പറയുന്നു.

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ $H$-യുടെ എല്ലാ സ്വമൂല്യങ്ങളും ധനമായിരിക്കും.

ഘടനാപരമായ സ്വമൂല്യ പ്രശ്നത്തിൽ മാസ് മാട്രിക്സ് $M$ സാധാരണയായി ധനനിശ്ചിതമാണെന്ന് കണക്കാക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, നിയന്ത്രണ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ് $K$ ധന അർദ്ധനിശ്ചിതമായിരിക്കാം; ദൃഢദേഹ മോഡുകൾക്ക് അനുബന്ധമായ പൂജ്യ സ്വമൂല്യങ്ങളും അതിനുണ്ടാകാം.

ഷിഫ്റ്റോടുകൂടിയ വിപരീത ആവർത്തനരീതി¶

ഫിനൈറ്റ് എലമെന്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘടനാ വിശകലനത്തിൽ പ്രായോഗികമായി എല്ലാ സ്വമൂല്യങ്ങളും ആവശ്യമില്ല; സാധാരണയായി ഏതാനും താഴ്ന്ന ക്രമത്തിലുള്ള സ്വമൂല്യങ്ങൾ മതിയാകും. HEC-MW വലിയ പ്രശ്നങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തതിനാൽ മാട്രിക്സുകൾ വലുതും അത്യന്തം വിരളവുമാണ്, അതായത് പൂജ്യ ഘടകങ്ങൾ കൂടുതലാണ്. അതിനാൽ ഈ ഗുണങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത് താഴ്ന്ന ക്രമത്തിലുള്ള മോഡുകളുടെ സ്വമൂല്യങ്ങൾ കാര്യക്ഷമമായി കണ്ടെത്തുന്നത് പ്രധാനമാണ്.

ഷിഫ്റ്റ് അളവിനെ $\sigma$ എന്ന് എടുത്താൽ, $-\sigma$ ഒരു സ്വമൂല്യവുമായി തുല്യമല്ലാതെയും $K+\sigma M$-ന് വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലുണ്ടായാലും, സമവാക്യം $\eqref{eq:2.3.5}$-നെ താഴെപ്പറയുന്നതുപോലെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

ഈ രൂപാന്തരത്തിൽ സ്വവെക്റ്റർ $x$ മാറുന്നില്ല; സ്വമൂല്യം $\lambda$, $1/(\lambda+\sigma)$-യിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

അതിനാൽ $\lambda$, $-\sigma$-യോട് അടുക്കുന്തോറും രൂപാന്തരപ്പെടുത്തിയ സ്വമൂല്യത്തിന്റെ പരമമൂല്യം വലുതാകും. ഘടനാപരമായ സ്വമൂല്യ പ്രശ്നത്തിൽ $\lambda \geq 0$, $\sigma \geq 0$ ആയതിനാൽ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന ക്രമത്തിലുള്ള സ്വമൂല്യം ഏറ്റവും വലിയ പരമമൂല്യമുള്ള സ്വമൂല്യത്തിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഈ ഗുണം ഉപയോഗിച്ച്, വലിയ പരമമൂല്യമുള്ള സ്വമൂല്യങ്ങളിലേക്ക് ആദ്യം അഭിസരിക്കുന്ന ആവർത്തനരീതി സമവാക്യം $\eqref{eq:2.3.8}$-ൽ പ്രയോഗിച്ചാൽ താഴ്ന്ന ക്രമത്തിലുള്ള സ്വമൂല്യങ്ങൾ ക്രമമായി കാര്യക്ഷമമായി കണ്ടെത്താം.

ഈ രീതിയെ ഷിഫ്റ്റോടുകൂടിയ വിപരീത ആവർത്തനരീതി എന്നു വിളിക്കുന്നു.

FrontISTR-ൽ നിയന്ത്രണങ്ങളുള്ള വിശകലനത്തിന് $\sigma = 0$ ആയി വെക്കുന്നു; അപ്പോൾ സമവാക്യം $\eqref{eq:2.3.8}$, $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, അതായത് ഷിഫ്റ്റില്ലാത്ത വിപരീത ആവർത്തനമായി മാറുന്നു. നിയന്ത്രണങ്ങളില്ലാത്ത സ്വതന്ത്ര-സ്വതന്ത്ര വിശകലനത്തിൽ ദൃഢദേഹ മോഡുകൾക്ക് അനുബന്ധമായ പൂജ്യ സ്വമൂല്യങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ $K$-യ്ക്ക് വിപരീതമില്ല; $\sigma$-യ്ക്ക് ധനമായ മൂല്യം നൽകി $K+\sigma M$-ന് വിപരീതം നിലവിലാകുന്നവിധം ക്രമീകരിക്കുന്നു. ഈ $\sigma$ !EIGEN-ലെ SIGMA ഉപയോഗിച്ച് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

Lanczos രീതി¶

സ്വീകരിക്കുന്നതിനുള്ള കാരണം (Jacobi രീതിയുമായുള്ള താരതമ്യം)¶

ക്ലാസിക്കൽ രീതികളിൽ Jacobi രീതി നന്നായി അറിയപ്പെടുന്നു.

മാട്രിക്സ് വലുപ്പം ചെറുതും മാട്രിക്സ് സാന്ദ്രവുമാകുമ്പോൾ ഈ രീതി ഫലപ്രദമാണ്. എന്നാൽ HEC-MW കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന മാട്രിക്സുകൾ വലുതും വിരളവുമായതിനാൽ Jacobi രീതി സ്വീകരിക്കുന്നില്ല; പകരം Lanczos ആവർത്തനരീതിയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

അൽഗോരിതവും സവിശേഷതകളും¶

1950-കളിൽ C. Lanczos നിർദേശിച്ച ഈ രീതി ഒരു മാട്രിക്സിനെ ത്രിഡയഗണൽ രൂപത്തിലാക്കുന്ന അൽഗോരിതമാണ്; ഇതിന് താഴെപ്പറയുന്ന സവിശേഷതകളുണ്ട്.

ഇത് ഒരു ആവർത്തന അഭിസരണരീതിയായതിനാൽ മാട്രിക്സിന്റെ വിരള സ്വഭാവം നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട് കണക്കുകൾ നടത്താം.
അൽഗോരിതത്തിന്റെ പ്രധാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ മാട്രിക്സ്-വെക്റ്റർ ഗുണനങ്ങളായതിനാൽ സമാന്തരവൽക്കരണത്തിന് അനുയോജ്യമാണ്.
ഫിനൈറ്റ് എലമെന്റ് മെഷുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജ്യാമിതീയ ഡൊമെയ്ൻ വിഭജനത്തിന് അനുയോജ്യമാണ്.
ആവശ്യമായ സ്വമൂല്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ മോഡ് പരിധി നിയന്ത്രിച്ച് കാര്യക്ഷമമായി കണക്കാക്കാം.

Lanczos രീതി ഒരു ആരംഭ വെക്റ്ററിൽ നിന്ന് തുടക്കംകുറിച്ച് ക്രമമായി ലംബ വെക്റ്ററുകൾ സൃഷ്ടിച്ച് Krylov ഉപസ്ഥലത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം നിർമ്മിക്കുന്നു.

പരിമിത കൃത്യതയുള്ള കണക്കിൽ റൗണ്ടിംഗ് പിശകുകൾ കാരണം വെക്റ്ററുകളുടെ ലംബത നഷ്ടപ്പെടാം. ഈ സ്വാധീനം കുറയ്ക്കാൻ FrontISTR നടപ്പാക്കൽ ഇതിനകം ലഭിച്ച Lanczos അടിസ്ഥാനങ്ങളോട് വീണ്ടും ലംബീകരണം നടത്തുന്നു.

ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം (Krylov ഉപസ്ഥലം)¶

സമവാക്യം $\eqref{eq:2.3.8}$-ൽ താഴെപ്പറയുന്ന ചരംമാറ്റം വരുത്തിയാൽ

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

പ്രശ്നം വീണ്ടും എഴുതുമ്പോൾ

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

ലഭിക്കുന്നു.

പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും വെക്റ്റർ $q_0$-യ്ക്ക്

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

മുകളിലുള്ള വെക്റ്ററുകൾ വ്യാപിപ്പിക്കുന്ന സ്ഥലം, അതായത്

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov ഉപസ്ഥലം എന്നു വിളിക്കുന്നു.

Lanczos രീതി ഈ Krylov ഉപസ്ഥലത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം ക്രമമായി നിർമ്മിക്കുന്നു.

FrontISTR മാസ് മാട്രിക്സ് $M$-മായി ബന്ധപ്പെട്ട താഴെപ്പറയുന്ന ആന്തരിക ഗുണനം

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

ഉപയോഗിച്ച് അടിസ്ഥാനത്തെ ലംബ-ഏകമാനമാക്കുന്നു. താഴെയുള്ള ചിത്രങ്ങളിൽ കാണിക്കുന്ന ആന്തരിക ഗുണനം $\langle x,y\rangle$, നോർം $\|x\|$ എന്നിവ FrontISTR കണക്കിൽ യഥാക്രമം ഈ $M$-ആന്തരിക ഗുണനമായും അതിനനുസരിച്ചുള്ള $M$-നോർമായും, അതായത്

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നു.

ഏതെങ്കിലും വെക്റ്റർ $q_0$-യിൽ മാട്രിക്സ് $A$ നിർവചിക്കുന്ന രേഖീയ പരിവർത്തനം പ്രയോഗിക്കുന്നു (ചിത്രം 2.3.2).

$മാട്രിക്സ് $A$ ഉപയോഗിച്ചുള്ള $q_0$-യുടെ രേഖീയ പരിവർത്തനം$

ചിത്രം 2.3.2 മാട്രിക്സ് $A$ ഉപയോഗിച്ചുള്ള $q_0$-യുടെ രേഖീയ പരിവർത്തനം

പരിവർത്തനം ചെയ്ത വെക്റ്ററെ അതും യഥാർത്ഥ വെക്റ്ററും ചേർന്ന് സൃഷ്ടിക്കുന്ന സ്ഥലത്തിനുള്ളിൽ ലംബീകരിക്കുന്നു. അതായത്, ചിത്രം 2.3.3-ൽ കാണുന്നതുപോലെ Gram-Schmidt ലംബീകരണം നടത്തുന്നു. അങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന വെക്റ്ററെ $r_1$ എന്ന് വിളിച്ച് അതിനെ ഏകമാനമാക്കി $q_1$ നേടുന്നു.

$q_0\)-ന് ലംബമായ വെക്റ്റർ \(q_1$

ചിത്രം 2.3.3 $q_0$-ന് ലംബമായ വെക്റ്റർ $q_1$

അതേ രീതിയിൽ $q_1$-ൽ നിന്ന് $q_2$ നേടുന്നു. ഈ സമയത്ത് $q_2$, $q_1$-നും $q_0$-നും രണ്ടിനും ലംബമാണ് (ചിത്രം 2.3.4).

$q_1\)-നും $q_0$-നും ലംബമായ വെക്റ്റർ \(q_2$

ചിത്രം 2.3.4 $q_1$-നും $q_0$-നും ലംബമായ വെക്റ്റർ $q_2$

ഇങ്ങനെ Lanczos രീതി Krylov ഉപസ്ഥലത്തിന്റെ ലംബ-ഏകമാന അടിസ്ഥാനം ക്രമമായി നിർമ്മിക്കുന്നു. സൈദ്ധാന്തികമായി ബന്ധപ്പെട്ട സ്വമൂല്യ പ്രശ്നത്തിന്റെ സമമിതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ ആവർത്തനത്തെ ഏറ്റവും പുതിയ അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ത്രിപദ ആവർത്തനബന്ധമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം.

എന്നാൽ പരിമിത കൃത്യതയുള്ള കണക്കിലൂടെ ലംബത നഷ്ടപ്പെടുന്നത് കുറയ്ക്കാൻ FrontISTR നടപ്പാക്കൽ ഇതിനകം ലഭിച്ച Lanczos അടിസ്ഥാനങ്ങളോട് $M$-ആന്തരിക ഗുണനം ഉപയോഗിച്ച് പുനർലംബീകരണം നടത്തുന്നു.

ത്രിഡയഗണലൈസേഷൻ¶

FrontISTR-ലെ Lanczos ആവർത്തനത്തിൽ, മുൻവിഭാഗത്തിൽ വിവരിച്ച $M$-ആന്തരിക ഗുണനത്തോട് അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകൾ ലംബ-ഏകമാനമാക്കുന്നതിനാൽ

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

എന്ന ബന്ധം നിലനിൽക്കുന്നു.

സമവാക്യം $\eqref{eq:2.3.10}$-ലെ മാട്രിക്സ് $A$ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ സൈദ്ധാന്തിക Lanczos ആവർത്തനം

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

മുകളിലെ ത്രിപദ ആവർത്തനബന്ധമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം.

ആദ്യം $\alpha_i$-നെ താഴെപ്പറയുന്നതുപോലെ നിർവചിക്കുന്നു.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

തുടർന്ന് താൽക്കാലിക അവശിഷ്ടത്തെ

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

എന്ന് വെക്കുന്നു.

പരിമിത കൃത്യതയുള്ള കണക്കിലൂടെ ലംബത നഷ്ടപ്പെടുന്നത് കുറയ്ക്കാൻ FrontISTR നടപ്പാക്കൽ $\tilde{r}_{i+1}$-നെ ഇതിനകം ലഭിച്ച Lanczos അടിസ്ഥാനങ്ങളോട് $M$-ആന്തരിക ഗുണനം ഉപയോഗിച്ച് പുനർലംബീകരിക്കുന്നു. പുനർലംബീകരണത്തിന് ശേഷമുള്ള അവശിഷ്ടത്തെ $r_{i+1}$ എന്ന് എടുത്താൽ

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

എന്ന ബന്ധങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു.

Lanczos ആവർത്തനത്തിലൂടെ ലഭിച്ച $m$ അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളെ

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

എന്ന് സമാഹരിച്ചാൽ, പരിമിത എണ്ണം Lanczos ആവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

എന്ന ബന്ധം നിലനിൽക്കുന്നു.

ഇവിടെ $e_m$, $m$-ഡൈമൻഷണൽ ഏകക വെക്റ്ററാണ്; അതിന്റെ $m$-ാം ഘടകം മാത്രം 1 ഉം മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യവുമാണ്. കൂടാതെ

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ഒരു സമമിത ത്രിഡയഗണൽ മാട്രിക്സാണ്.

അതായത് ത്രിഡയഗണൽ മാട്രിക്സ് $T_m$-ന്റെ സ്വമൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ യഥാർത്ഥ വലിയ സ്വമൂല്യ പ്രശ്നത്തിന്റെ സ്വമൂല്യങ്ങൾ സന്നികടിപ്പിക്കാം.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ¶

ആവൃത്തി പ്രതികരണ വിശകലനം — മോഡ് വിശകലന ഫലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ആവൃത്തി പ്രതികരണം
വിശകലന തരം — മോഡ് വിശകലനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനസംഗ്രഹം