Skip to content

ആവൃത്തി പ്രതികരണ വിശകലനം

പ്രശ്നത്തിന്റെ നിർവ്വചനം

ആവൃത്തി പ്രതികരണ വിശകലനം ബാഹ്യബലം സമയം-ഹാർമോണിക് ആയി മാറുമ്പോൾ സ്ഥിരാവസ്ഥയിലെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രതികരണം ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡും ഘട്ടവും ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നിൽ വിലയിരുത്തുന്നു. ഡാമ്പിംഗ് ഇല്ലാത്തതും ഉള്ളതുമായ ചലന സമവാക്യങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ചട്ടക്കൂടുകളുള്ളതിനാൽ ആദ്യം ഡാമ്പിംഗ് ഇല്ലാത്ത സ്വതന്ത്ര കമ്പനത്തിൽ നിന്ന് ഐഗൻമോഡുകൾ വ്യുത്പാദിപ്പിച്ച്, അവയെ മോഡ് ബേസിസ് ആയി ഉപയോഗിച്ച് ഡാമ്പിംഗ് ഉള്ള ഹാർമോണിക് പ്രതികരണം വികസിപ്പിക്കുന്നു.

ഡാമ്പിംഗ് ഇല്ലാത്ത സ്വതന്ത്ര കമ്പനവും ഐഗൻമോഡുകളും

ഡാമ്പിംഗ് പരിഗണിക്കാത്തപ്പോൾ ചലന സമവാക്യം താഴെപ്പറയുന്ന രൂപത്തിലാണ്.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

ഇത് ഓരോ ഐഗൻമോഡിലും വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

ആകുന്നു. ഇത് സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.6.1}\)-ൽ പകരംവെച്ച ചെയ്താൽ,

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

ലഭിക്കുന്നു. ഈ സാമാന്യീകരിച്ച ഐഗൻവാല്യു പ്രശ്നത്തിന്റെ സംഖ്യാത്മക പരിഹാരരീതികൾ (ഷിഫ്റ്റ് ചെയ്ത വിപരീത ആവർത്തനം, Lanczos രീതി) മോഡ് വിശകലനം-ൽ വിവരിക്കുന്നു. ലഭിക്കുന്ന സ്വാഭാവിക ആവൃത്തികളും ഐഗൻമോഡുകളും പിന്നീട് ഹാർമോണിക് പ്രതികരണ വികാസത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗുണങ്ങൾ ഇവിടെ ക്രമീകരിക്കുന്നു.

സ്വാഭാവിക ആവൃത്തിയുടെ യഥാർത്ഥ-മൂല്യമുള്ള സ്വഭാവം

ഈ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തി യഥാർത്ഥ ആണെന്ന് താഴെപ്പറയുന്ന വിധത്തിൽ തെളിയിക്കാം. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) എന്ന് വെച്ച് സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.6.3}\)-ന്റെ സങ്കീർണ്ണ സംയുഗ്മം എടുത്താൽ \(\eqref{eq:2.6.4}\) ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

ഇതിന് \(\overline{U}_J^T\) ഗുണിച്ചാൽ,

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

ലഭിക്കുന്നു. സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.6.5}\) പ്രകാരം,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

ആകുന്നു. ഇവിടെ ദ്രവ്യമാന മാട്രിക്സ് പോസിറ്റീവ്-ഡെഫിനിറ്റ് സമമിത ആയതിനാൽ ശൂന്യമല്ലാത്ത ഐഗൻവെക്റ്ററിന്

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

സാധുവാണ്. അതിനാൽ,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

ആകുകയും \(\omega_j^2 = \lambda_j\) യഥാർത്ഥ ആയിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഐഗൻമോഡുകളുടെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റിയും സാധാരണീകരണവും

ഇപ്പോൾ വ്യത്യസ്തമായ 2 മോഡുകൾ പരിഗണിക്കുക.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

ഇതിൽ നിന്ന്,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ലഭിക്കുന്നു; ഐഗൻവാല്യുകൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

ആകുന്നു. അതായത് വ്യത്യസ്ത ഐഗൻമോഡുകൾ ദ്രവ്യമാന മാട്രിക്സിനോട് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്. അതേ മോഡ് ദ്രവ്യമാന മാട്രിക്സിനോട് സാധാരണീകരിക്കുന്നത് (സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.6.12}\)) തുടർന്നുള്ള കൈകാര്യം ലളിതമാക്കുന്നു.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

ഡാമ്പിംഗ് ഉള്ള ഹാർമോണിക് പ്രതികരണം

അടുത്തതായി ഡാമ്പിംഗ് പരിഗണിച്ച ആവൃത്തി പ്രതികരണ വിശകലനത്തിന്റെ രൂപീകരണം കാണിക്കുന്നു. ലക്ഷ്യ ചലന സമവാക്യം സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.6.13}\)-ൽ കാണിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

ഇവിടെ ഡാമ്പിംഗ് പദം Rayleigh തരം ആണെന്ന് കരുതി \(\eqref{eq:2.6.14}\) പോലെ എഴുതാവുന്നതായി സ്വീകരിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

മോഡ് വിശകലനത്തിൽ ലഭിച്ച ഐഗൻവെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥാനചലനം വെക്റ്റർ സമയം t-ൽ സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.6.15}\) പോലെ വികസിപ്പിക്കാം.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

ഈ സമയത്ത് ബാഹ്യബലം പദം ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ രൂപത്തിലുള്ള

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

എന്ന സാഹചര്യത്തിൽ \(b_{j}(t)\) നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ചലന സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.6.13}\) ബലപ്രേരിത കമ്പനത്തിന്റെ രൂപമാകുന്നതിനാൽ

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

സാധുവാണ്. \(b_{j}(t)\)-ന്റെ വികാസ ഗുണകത്തിന്റെ യഥാർത്ഥവും കാല്പനികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ സമവാക്യങ്ങൾ \(\eqref{eq:2.6.18}i\), \(\eqref{eq:2.6.19}\) എന്നീ രൂപങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

ആകുന്നു.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ