Skip to content

ട്രാൻസിയന്റ് താപചാലന വിശകലനം

പരിമിത എലമെന്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘനവസ്തുവിന്റെ താപചാലന വിശകലനത്തിലെ സമയ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷനും ആവർത്തന പരിഹാരരീതിയും ഇവിടെ കാണിക്കുന്നു. തുടർച്ചാമാധ്യമത്തിലെ നിയന്ത്രക സമവാക്യത്തിനും അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾക്കും താപചാലന സമവാക്യം കാണുക.

ഡിസ്ക്രിറ്റൈസ് ചെയ്ത സമവാക്യം(ആരംഭബിന്ദു)

താപചാലന സമവാക്യം(താപചാലന സമവാക്യം (gov_he_main)) Galerkin രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഡിസ്ക്രിറ്റൈസ് ചെയ്താൽ,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

ഇവിടെ,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

ഇവിടെ \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) യഥാക്രമം താപചാലന മാട്രിക്സ്(അതിർത്തി സംഭാവനകളായ സംവഹന/വികിരണ പദങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ), മാസ് മാട്രിക്സ്, താപ ലോഡ് വെക്റ്റർ, ഷേപ്പ് ഫംഗ്ഷൻ മാട്രിക്സ് എന്നിവയാണ്. മെറ്റീരിയൽ ഗുണ ചിഹ്നങ്ങളായ \(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) മുതലായവയുടെ നിർവചനത്തിന് താപചാലന സമവാക്യം പിന്തുടരുക.

സമയ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷനും ആവർത്തന പരിഹാരരീതിയും

സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.4.8}\) അരേഖീയവും ട്രാൻസിയന്റുമായ സമവാക്യമാണ്. സമയം backward Euler രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഡിസ്ക്രിറ്റൈസ് ചെയ്യുക. സമയം \(t=t_0\)-യിലെ താപനില അറിയപ്പെടുമ്പോൾ, സമയം \(t=t_0+\Delta t\)-യിലെ താപനില താഴെയുള്ള സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

ഇവിടെ സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.4.13}\) ഏകദേശമായി തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന താപനില വെക്റ്റർ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) മെച്ചപ്പെടുത്തി കൂടുതൽ കൃത്യമായ പരിഹാരം \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) കണ്ടെത്തുന്നു.

അതിനായി ആദ്യം താപനില വെക്റ്റർ താഴെപ്പറയുന്ന വിധത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

താപചാലന മാട്രിക്സിന്റെയും താപനില വെക്റ്ററിന്റെയും ഗുണിതം, മാസ് മാട്രിക്സ് തുടങ്ങിയവയെ താഴെയുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പോലെ ഏകദേശമായി രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

സമവാക്യങ്ങൾ \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\), \(\eqref{eq:2.4.16}\) എന്നിവ സമവാക്യം \(\eqref{eq:2.4.13}\)-ൽ പകരംവച്ച് രണ്ടാം ഓർഡറും അതിനുമുകളിലുള്ള പദങ്ങളും ഒഴിവാക്കിയാൽ താഴെയുള്ള സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

കൂടാതെ ഇടത് വശത്തെ ഗുണക മാട്രിക്സ് താഴെയുള്ള സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശമായി വിലയിരുത്തുന്നു.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

ഇവിടെ \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) ടാൻജന്റ് സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സാണ്.

അവസാനം, താഴെയുള്ള സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ആവർത്തന കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തുന്നതിലൂടെ സമയം \(t=t_0+\Delta t\)-യിലെ താപനില കണക്കാക്കാം.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

പ്രത്യേകിച്ച് സ്ഥിരാവസ്ഥ വിശകലനത്തിൽ താഴെയുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ആവർത്തന കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തുന്നു.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

ട്രാൻസിയന്റ് വിശകലനത്തിൽ സമയ ഡിസ്ക്രിറ്റൈസേഷനായി ഇംപ്ലിസിറ്റ് രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ സമയ ഇൻക്രിമെന്റ് \(\Delta t\)-ന്റെ വലുപ്പത്തിന് സാധാരണ സ്ഥിരതാ നിയന്ത്രണം ഇല്ല. എന്നാൽ സമയ ഇൻക്രിമെന്റ് \(\Delta t\) അതിയായി വലുതായാൽ ആവർത്തന കണക്കുകൂട്ടലിലെ അഭിസരണ ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം വർധിക്കും. പൊതുവെ സമയ ഇൻക്രിമെന്റ് \(\Delta t\) അതിയായി വലുതായാൽ ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം വർധിക്കും. നടപ്പാക്കലിൽ റെസിഡ്വൽ വെക്റ്ററിന്റെ വലുപ്പം നിരീക്ഷിച്ച്, അഭിസരണം മന്ദമാണെങ്കിൽ \(\Delta t\) കുറയ്ക്കുകയും ആവർത്തനങ്ങൾ കുറവാണെങ്കിൽ \(\Delta t\) വർധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന സ്വയമേവ ഇൻക്രിമെന്റ് നിയന്ത്രണം ഉപയോഗിക്കുന്നു(→ വിശദാംശങ്ങൾക്ക് സ്റ്റെപ്പ് നിയന്ത്രണം കാണുക).

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ