Skip to content

ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളുടെ കൈകാര്യം

Newton-Raphson രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഓരോ ആവർത്തനത്തിലും പരിഹരിക്കുന്ന രേഖീയ സമവാക്യം \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\)-ൽ ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ (സ്ഥാനചലനം നിയന്ത്രണങ്ങൾ) ഇതുവരെ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല. സ്ഥാനചലനം നിയന്ത്രണം \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) നൽകിയ DOF-ുകൾക്കായി സ്റ്റിഫ്നസ് മാട്രിക്സ് \(\boldsymbol{K}\), റെസിഡ്വൽ വെക്റ്റർ \(\boldsymbol{R}\) എന്നിവ എങ്ങനെ തിരുത്തിയാൽ ആവർത്തനം ശേഷമുള്ള സ്ഥാനചലനം നിർദ്ദിഷ്ട നിയന്ത്രണം മൂല്യം എത്തുമെന്ന് ഈ അധ്യായം കാണിക്കുന്നു. multi-ബിന്ദു നിയന്ത്രണം (MPC), സമ്പർക്ക-നോടനുബന്ധിച്ച അരേഖീയ നിയന്ത്രണം എന്നിവ വേറൊരു പ്രക്രിയയിലാണ്; multi-ബിന്ദു നിയന്ത്രണം, സമ്പർക്കം കാണുക.

സ്ഥാനചലനം-നിയന്ത്രിത DOF-നെ അജ്ഞാത വെക്റ്ററിൽ നിലനിർത്തുന്ന സമീപനം

ജ്യാമിതീയ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥ നൽകിയ നോഡിന്റെ സ്ഥാനചലനം ഇനി അജ്ഞാത ചര അല്ല; അത് നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യമായ \(\bar{u}_i\)-ൽ fix ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഇവ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ആയി കണക്കാക്കി രേഖീയ സമവാക്യം \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\)-ൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കി ചെയ്യാം. എന്നാൽ FrontISTR നിയന്ത്രിത DOF-ുകളും മറ്റു DOF-ുകളെപ്പോലെ തിരുത്തൽ വെക്റ്റർ \(d\boldsymbol{u}\)-ൽ നിലനിർത്തി \(\boldsymbol{K}\), \(\boldsymbol{R}\) എന്നിവ മാറ്റിയാണ് നിയന്ത്രണം നടപ്പാക്കുന്നത്.

ഈ രീതിയിൽ നിയന്ത്രണം ഉണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്നതനുസരിച്ച് ഗുണകം മാട്രിക്സിന്റെ പരിമാണവും DOF ക്രമവും മാറുന്നില്ല; അതിനാൽ ചര ഒഴിവാക്കി ചെയ്തശേഷം ഒഴിവായ വരി/നിര വീണ്ടും കോംപാക്റ്റ് ചെയ്യേണ്ടതില്ല. സ്പാർസ്-മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ഗുണകം മാട്രിക്സ് സൂക്ഷിക്കുന്ന നടപ്പാക്കലിൽ അത്തരം കോംപാക്റ്റ് ചെയ്യൽ സങ്കീർണ്ണമായതിനാൽ FrontISTR ഗുണകം മാട്രിക്സും വലതുവശ വശവും മാത്രം പുതുക്കൽ ചെയ്ത് നിയന്ത്രണം നടപ്പാക്കുന്ന ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

Newton-Raphson തിരുത്തലിന്റെ ലക്ഷ്യ മൂല്യം

സ്ഥാനചലനം-നിയന്ത്രിത DOF \(i\)-ക്കായി Newton-Raphson ആവർത്തനത്തിൽ കണ്ടെത്തുന്ന തിരുത്തൽ \(du_i\)

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1-ാം ആവർത്തനം}) \\ 0 & (\text{2-ാം ആവർത്തനം മുതൽ}) \end{cases} \]

ആകുന്ന വിധത്തിൽ \(\boldsymbol{K}\), \(\boldsymbol{R}\) എന്നിവ തിരുത്തുന്നു. ഇതിലൂടെ 1-ാം ആവർത്തനത്തിൽ സ്ഥാനചലനം ഇൻക്രിമെന്റ് നിയന്ത്രണം മൂല്യം \(\bar{u}_i\) എത്തുകയും 2-ാം ആവർത്തനം മുതൽ തിരുത്തൽ \(0\) ആയി നിയന്ത്രണം മൂല്യം നിലനിർത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

മാട്രിക്സും റെസിഡ്വൽ വെക്റ്ററും മാറ്റുന്ന നടപടി

മുൻവിഭാഗത്തിലെ ലക്ഷ്യം രേഖീയ സമവാക്യം \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) എന്ന രൂപം നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട് താഴെപ്പറയുന്ന 2 മാറ്റങ്ങളിലൂടെ കൈവരിക്കുന്നു.

  1. വരി \(i\) ഡയഗണലൈസേഷൻ: \(du_i\)-ന്റെ ഗുണകം ആയ ഡയഗണൽ പദം \(K_{ii}\) നെ \(1\) ആയും മറ്റ് എല്ലാ ഗുണകങ്ങളായ \(K_{ij}\ (j \not= i)\) നെ \(0\) ആയും മാറ്റി വലതുവശ വശം \(R_i \to d\bar{u}_i\) ആക്കുന്നു. അപ്പോൾ വരി \(i\)-ലെ സമവാക്യം \(du_i = d\bar{u}_i\) ആകുന്നു.
  2. വരി \(j(\not= i)\)-ൽ നിന്ന് പദം മാറ്റൽ: വരി \(j(\not= i)\)-ൽ \(K_{ji} \not= 0\) ആണെങ്കിൽ \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) എന്ന പദം വലതുവശ വശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു. അതായത് വലതുവശ വശത്ത് നിന്ന് \(K_{ji} d\bar{u}_i\) കുറച്ച് \(du_i\)-ന്റെ ഗുണകം \(K_{ji}\) നെ \(0\) ആക്കുന്നു.

ഘടകം രൂപത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ മാറ്റത്തിന് മുമ്പും ശേഷവും സമവാക്യങ്ങൾ താഴെപ്പറയുന്ന പോലെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

മാറ്റത്തിന് ശേഷമുള്ള ഗുണകം മാട്രിക്സ്, വലതുവശ വശം എന്നിവയെ യഥാക്രമം \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) എന്നു എഴുതിയാൽ ഒടുവിൽ പരിഹരിക്കേണ്ട രേഖീയ സമവാക്യം

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

ആകുന്നു. നിയന്ത്രിത DOF-ുകൾ ഒന്നിലധികമുണ്ടെങ്കിൽ ഓരോ നിയന്ത്രിത DOF \(i\)-ക്കും മുകളിലെ 1, 2 മാറ്റങ്ങൾ ക്രമമായി പ്രയോഗിക്കുന്നു.

സ്പാർസ്-മാട്രിക്സ് നടപ്പാക്കലിലെ പ്രോസസ്സിംഗ് പരിധി

നടപ്പാക്കലിൽ ഗുണകം മാട്രിക്സ് \(\boldsymbol{K}\) സ്പാർസ്-മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ സൂക്ഷിക്കുന്നു. മുൻവിഭാഗത്തിലെ നടപടിക്രമം 2-ൽ വരി \(j(\not= i)\)-ന്റെ പ്രോസസ്സിംഗ് നിര \(i\)-ൽ ശൂന്യമല്ലാത്ത ഘടകം ഉള്ള വരികൾക്ക്, അതായത് നിയന്ത്രിത DOF \(i\)-നോട് എലമെന്റ് വഴി ബന്ധിപ്പിച്ച നോഡുകളുടെ DOF-ുകൾക്ക് മാത്രം നടത്തുന്നു. ബന്ധമില്ലാത്ത DOF-ുകൾക്ക് \(K_{ji} = 0\) ആയതിനാൽ പദം മാറ്റിയാലും വലതുവശ വശം മാറില്ല. ഈ പരിധിയാൽ മൊത്തം നോഡ് എണ്ണത്തോട് താരതമ്യേന പ്രാദേശിക operation-ുകൾകൊണ്ട് നിയന്ത്രണം പ്രോസസ്സിംഗ് പൂർത്തിയാക്കാം.

ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ