Агуулгыг алгасах

Шугаман уян статик шинжилгээ (удиртгал)

Энд бага деформацийн онолд тулгуурласан уян статик шинжилгээний томьёоллыг үзүүлнэ. Хүчдэл-харьцангуй деформацийн хамааралд шугаман уян чанарыг таамаглана. Энэ бүлэг нь төгсгөлөг элементийн аргаар бүтцийн шинжилгээ хийх ерөнхий урсгалыг ойлгох удиртгал бөгөөд нэг бүлгээр бүрэн уншиж ойлгохоор зохион байгуулагдсан.

Виртуал ажлын зарчмын ерөнхий онолыг (одоогийн конфигурац, анхны конфигурац, бага деформацид шилжих) Виртуал ажлын зарчим, шугаман уян тодорхойлох хуулийн дэлгэрэнгүйг Шугаман уян чанар, тензор ба Voigt тэмдэглэгээний дүрмийг Тензорын тэмдэглэгээ ба математикийн үндэс, их деформацийн ерөнхий томьёоллыг Хөдөлгөөн, деформаци ба харьцангуй деформаци, шугаман бус бодлогын шийдлийн аргыг Шүргэгч хөшүүн чанарын матриц-аас үзнэ үү.

Үндсэн тэгшитгэлүүд

Бага деформаци ба шугаман уян чанарын таамаглал дор хатуу биеийн механикийн хилийн утгын бодлого нь тэнцвэрийн тэгшитгэл, механикийн хилийн нөхцөл, геометрийн хилийн нөхцөл (үндсэн хилийн нөхцөл)-өөс бүрдэнэ (Зураг 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{дотор} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{дээр} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{дээр} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Энд \(\boldsymbol{\sigma}\) нь Cauchy хүчдэл, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) нь нэгж эзлэхүүнд ногдох биеийн хүч, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) нь өгөгдсөн гадаргуугийн хүч, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) нь өгөгдсөн шилжилт, \(S_t, S_u\) нь механикийн ба геометрийн хилүүд юм.

Хатуу биеийн механикийн хилийн утгын бодлого (бага деформацийн бодлого)

Зураг 2.1.1 Хатуу биеийн механикийн хилийн утгын бодлого (бага деформацийн бодлого)

Харьцангуй деформаци-шилжилтийн хамаарлыг тэгш хэмт градиент оператор-оор

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Шугаман уян тодорхойлох тэгшитгэлийг

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

гэж өгнө (\(\boldsymbol{C}\) нь дөрөвдүгээр эрэмбийн уян чанарын тензор).

Виртуал ажлын зарчим

Виртуал ажлын зарчмын ерөнхий хэлбэрүүд (одоогийн конфигурац, анхны конфигурац, бага деформацид шилжих) Виртуал ажлын зарчим-д нэгтгэгдсэн. Бага деформаци ба шугаман уян чанарын таамаглал дор сул хэлбэр нь

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{дээр} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

бөгөөд тодорхойлох тэгшитгэл \eqref{eq:2.1.5}-ийг орлуулж, Voigt тэмдэглэгээ-гээр \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) гэж бичвэл дискретчлэлд шууд хэрэглэх хэлбэр

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

гарна (\(D\) нь Шугаман уян чанар-т тодорхойлсон уян матриц). \eqref{eq:2.1.10} ба \eqref{eq:2.1.7} тэгшитгэлүүд нь доор дискретчлэх виртуал ажлын зарчим юм.

Дискретчлэл ба нийт тэгшитгэлийн угсралт

Виртуал ажлын зарчмын \( \eqref{eq:2.1.10} \) тэгшитгэлийг төгсгөлөг элемент тус бүрээр дискретчилбэл дараахыг олно.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Элемент бүрийн хувьд тухайн элементийг бүрдүүлэгч зангилааны шилжилтээр шилжилтийн орныг дараах байдлаар интерполяцлана.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Энэ үед харьцангуй деформацийг \(\eqref{eq:2.1.4}\) тэгшитгэлээр дараах байдлаар өгнө.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.12}\), \(\eqref{eq:2.1.13}\) тэгшитгэлүүдийг \(\eqref{eq:2.1.11}\)-д орлуулбал дараахыг олно.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.14}\) тэгшитгэлийг дараах байдлаар нэгтгэж болно.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Энд, \(\eqref{eq:2.1.16}\), \(\eqref{eq:2.1.17}\) тэгшитгэлээр тодорхойлсон матриц ба векторын бүрэлдэхүүнүүдийг төгсгөлөг элемент бүрээр тооцоолж, давхардуулан угсарч болно.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.15}\) тэгшитгэл нь дурын виртуал шилжилт \(\delta \boldsymbol{U}\)-ийн хувьд биелэх тул дараах тэгшитгэлийг олно.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Харин шилжилтийн хилийн нөхцөлийн \(\eqref{eq:2.1.3}\) тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.18}\) тэгшитгэлийг \(\eqref{eq:2.1.19}\) хязгаарлалтын нөхцөл дор бодсоноор зангилааны шилжилт \(\boldsymbol{U}\)-г тодорхойлж болно.

Холбогдох сэдвүүд